¿Debe un espacio vectorial normado ser sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ?

Question

Si debe ser así, ¿por qué? En los cursos de matemáticas que he tomado los espacios vectoriales normados siempre han sido sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ pero no veo que tenga por qué ser así. Lo pregunto porque estaba probando que si un espacio vectorial normado X tiene una base de Schauder entonces es separable, y tenía una prueba del estilo de esta pregunta ¿Cómo demostrar que si un espacio normado tiene base de Schauder, entonces es separable? ¿Y a la inversa? El problema que tuve es que esta prueba requiere que tengamos una secuencia de racionales convergentes a los escalares del espacio vectorial. Pero si el espacio vectorial no es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ¿por qué debería funcionar?

Alguien ha preguntado esto en un comentario a la segunda respuesta de la pregunta anterior, pero no entiendo muy bien la respuesta dada: "El fiel tiene que ser restringido, en particular debido a la definición de un espacio normado: se necesita un valor absoluto" Veo que utilizamos valores absolutos en los escalares del espacio vectorial, pero no sé por qué esto los limita a estar en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ No sé cómo definir un valor absoluto en algo que no sea un número real o complejo (pero wikipedia parece sugerir que se puede hacer).

Answer 1

Existe un teorema según el cual si $k$ es un campo normado, se cumple una de las dos cosas siguientes:

1) $k$ es un subcampo de $\mathbb{C}$ .

2) $k$ satisface la propiedad no arquimediana: $|x+y| \leq \max\{|x|,|y|\}$ (por ejemplo $k=\mathbb{Q}_p$ ).

Ciertamente podemos definir espacios normados sobre campos no arquimedianos, pero hay suficientes diferencias importantes en la teoría como para que probablemente debamos tratarlos como objetos diferentes. Por ejemplo, ya no está garantizada la compacidad local de los espacios de dimensión finita.

Además, mezclamos un poco de álgebra con nuestro análisis, por medio del campo de residuos $\tilde{k} := \{x\in k \mid |x|\leq 1\}/\{x\in k \mid |x|<1\}$ .

Le recomiendo que lea sobre el análisis no arquimédico y los espacios de Berkovich si siente curiosidad por este campo de investigación activo y en expansión.