Muestran que dos espacios topológicos no homeomórficos.

Question

Deje $X = (-1,1)$ ser considerados con la métrica Euclidiana, y $Y = (0, \infty)$ dará la cofinite topología. Demostrar que $X$ $Y$ no homeomórficos.

Mis pensamientos actuales son que un homeomorphism es un continuo bijection con un continuo inversa, y que es relativamente trivial para definir un bijection entre el$(-1,1)$$(0,\infty)$, por lo que necesito para demostrar que cualquier función entre las $X$ $Y$ no es continua debido a las topologías. Esto se llevaría a cabo demostrando que si $f:X\rightarrow Y$ es un bijective función, y un conjunto $A$ está abierto en $X$, $f^{-1}(A)$ es cerrado en $Y$. Aquí es donde me golpeó una pared y soy incapaz de continuar, cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Sugerencia: Uno de los espacios es Hausdorff, y el otro no lo es.

Answer 2

Aquí es un argumento que no es la más general, pero funciona. Supongamos que $f:Y\to X$ es un Homeomorfismo.

Escriba $$X= \bigcup_{n≥2}[-1+1/n,1-1/n]$ $ $$Y=f^{-1}(X) = \bigcup_{n≥2} f^{-1}([-1+1/n,1-1/n])$ $ debe ser una Unión contable de conjuntos finitos, que no es posible.

Aviso que utilizado el hecho de que $f$ es continua, el hecho de que $f$ tiene una inversa continua no fue útil.

Answer 3

$[0,1/2]$ es un subconjunto cerrado y adecuado infinito de $X$, mientras que todos los subconjuntos cerrados correcta $Y$ son finitos.