Desigualdad para probabilidades binomiales cola

Question

Deje $B(k,n,p)$ ser el CDF de una distribución binomial. La siguiente desigualdad parece ser cierto de tests numéricos.

$$B\left(k-1,n,\frac{k-1}{n-1}\right)>B\left(k,n,\frac{k}{n-1}\right)$$

He mirado a través de los correspondientes resultados, que se resumen en la sección uno de Xu, Balakrishnan (2011) para probar el resultado, pero no he encontrado nada que se puede aplicar fácilmente. Guía o de ayuda las referencias son muy bienvenidos.

Actualización:

Creo que el siguiente puede ser útil. Me doy cuenta de que $B\left(k-1,n,\frac{k-1}{n-1}\right)$ puede ser expresado como la probabilidad de no tener más de $k$ éxitos entre los $n+1$ Bernoulli variables en las que uno ha $p=1$ y el otro ha $p=\frac{k-1}{n-1}$.

$B\left(k,n,\frac{k}{n-1}\right)$ puede ser expresado como la probabilidad de no tener más de $k$ éxitos entre los $n+1$ Bernoulli variables en las que uno ha $p=0$ y el otro ha $p=\frac{k}{n-1}$.

Answer 1

Usted podría utilizar la aproximación normal a $N (\mu, \sigma^2) $ para obtener una solución que sea válida para suficientemente grande $n $. Recordando que la media y la varianza de la distribución binomial se $np $$np (1-p) $, respectivamente, en la desigualdad de la primera distribución binomial se aproxima por

$$ N \left(\frac {n (k-1)}{n-1}, \frac {n(k-1)(n-k)}{(n-1)^2 } \right) $$

mientras que la segunda se aproxima por

$$ N \left(\frac {nk}{n-1}, \frac {nk \, (n-k-1)}{(n-1)^2} \right)$$

Las áreas de la CDF corresponden a las probabilidades dadas por el $z$-valores de las dos distribuciones normales, calculados para $k-1$$k $, respectivamente. Así obtenemos para la primera distribución

$$\displaystyle \frac {(k-1)- \frac {n(k-1)}{n-1}  }{\sqrt{ \frac { n (k-1)(n-k) }{(n-1)^2}}}$$

$$\displaystyle =-\frac {\sqrt {k-1}}{\sqrt{ n (n-k)}} $$

y para el segundo

$$\displaystyle \frac {k- \frac {nk}{n-1}  }{\sqrt{ \frac { nk(n-k-1) }{(n-1)^2}}}$$

$$\displaystyle =-\frac {\sqrt {k}}{\sqrt{ n (n-k-1)}} $$

Tenga en cuenta que los dos $z $-los valores son negativos. La inicial de la desigualdad es equivalente a

$$\displaystyle -\frac {\sqrt {k-1}}{\sqrt{ n (n-k)}} > -\frac {\sqrt {k}}{\sqrt{ n (n-k-1)}} $$

o

$$\displaystyle \frac {\sqrt {k-1}}{\sqrt{ n-k}} < \frac {\sqrt {k}}{\sqrt{ n-k-1}} $$

que es obviamente cierto para cualquier $n-k>1$ .

Cabe señalar que el uso de este método en el caso de $n-k=1$ no está definido, porque lleva a una división por cero. Sin embargo, tomando la mano derecha de límite podríamos considerar que en este caso el lado derecho tiende a $\infty $, de nuevo la satisfacción de la desigualdad.