Para tener estos números:
$4^{68}, 5^{51}, 12^{23}$
Tienen que ser ordenados desde el más pequeño a mayor. No tengo ni idea cómo solucionar el problema. Por lo general, uno debe romper los exponentes de alguna manera para obtener la misma base o exponente, pero en este caso parece problemático como dos de los exponentes son números primos y las bases no parecen ser expresable por otras.
Se agradecería la ayuda.
Observe que $68=17 \times 4$ y $51 = 17 \times 3$, por lo tanto, $4^{68}=(4^4)^{17}$y $5^{51} = (5^3)^{17}$. Cálculo de la base, $4^4= 256$ es mayor que $5^3 = 125$.
Luego observe que $3 \times 23 = 69$, que $4^{68} = (4^3)^{23}/4 = 64^{23}/4$, que es mucho mayor que $12^{23}$.
Por lo tanto $12^{23}$ es el más pequeño.
Cuantitativamente, $5^{51} > 5^{46} = 25^{23} > 12^{23}$, que también muestra que el $12^{23}$ es el más pequeño.
Respuesta final: $$12^{23} < 5^{51} < 4^{68}$ $
Primero Observe % $ $$12^{23}=(3\cdot4)^{23}=3^{23}\cdot4^{23}<4^{23}\cdot4^{23}=4^{46}\;,$
así $12^{23}$ es definitivamente menor que $4^{68}$.
Siguiente, $51$ y $68$ son ambos múltiplos de $17$, así que veamos si ello conduce a nada bueno. $4^{68}=(4^4)^{17}=256^{17}$ y $5^{51}=(5^3)^{17}=125^{17}$, tan claramente $5^{51}<4^{68}$. Sólo queda por determinar los tamaños relativos de $12^{23}$ y $5^{51}$. Pero eso está claro: $12^{23}<4^{46}<5^{51}$.
La orden final es $12^{23}<5^{51}<4^{68}$.
OK, suponiendo que simplemente no podemos tomar registros, busqué los números que fueron aproximadamente similares en la secuencia de alimentación de cada base, solo para ver si la respuesta fue clara:
$$ 4^{3.5}=128, 5^3=125, 12^2=144$$
parecía lo suficientemente bueno para los propósitos exploratorios. Entonces yo estoy comparando
$$ 128^{19ish}, 125^{17}, 144^{11.5}$$
y está claro que $4^{68}>5^{51}>12^{23}$.
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