Pregunta sobre la definición de Semi álgebra

Question

Me pregunto si alguien podría ayudarme con las propiedades básicas de un semialgebra. Decimos que $S$ es un semialgebra de subconjuntos de $X$ si

1. $\emptyset \in S$
2. Si $P_1$, $P_2 \in S$, entonces $P_1 \cap P_2 \in S$
3. Si $P \in S$, entonces $X \backslash P$ puede ser escrito como una unión finita de conjuntos de $S$.

Pero a veces encuentro que se define usando lo siguiente 3' en lugar de 3.

3'. Si $P \in S$, entonces $X \backslash P$ puede ser escrito como una unión finita y disjunta de conjuntos de $S$.

¿Son equivalentes estas definiciones? Si es así, ¿alguien puede mostrarme cómo podemos obtener 3' a partir de las tres primeras condiciones?

Gracias.

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo que muestra que 1, 2 y 3 no prueban 3'.

Sea $X$ el conjunto de nodos de un árbol binario completo infinito. Entonces, para $x\in X$, sea $L(x)$ el conjunto de todos los nodos en el subárbol izquierdo desde $x$, y de manera similar sea $R(x)$ el conjunto de todos los nodos en el subárbol derecho desde $x$. Luego, sea

$S = \{\{x\}| x\in X\} \cup \{\{x\}\cup L(x)| x\in X\} \cup \{\{x\}\cup R(x)| x\in X\} \cup \{\{\} \}$

En otras palabras, S está compuesto por todos los singleton, todos los singleton con sus subárboles izquierdos, y todos los singleton con sus subárboles derechos. Se puede comprobar que esto es un semialgebra en el sentido de 1, 2 y 3. Pero nunca podremos escribir $X$ (el complemento del conjunto vacío) como una unión disjunta finita de elementos de $S$.

Answer 2

Mi suposición es que no puedes mostrar fácilmente esto. La mayoría de los buenos libros que he visto, que utilizan el concepto de semi-álgebra, se aseguran de usar tu 1, 2 y 3' - no 1, 2 y 3 como su definición.

La respuesta 1 a tu pregunta es (como has visto tú mismo, creo) básicamente incorrecta: Alex ha pasado por alto el hecho de que en su construcción de los $B_i$ a partir de los $A_i$, está basándose en los complementos siendo miembros de ${\cal S}$, lo cual no tiene derecho a hacer.

No sé si se puede deducir 3' por 1, 2 y 3. Es una pregunta interesante. Supongo que una refutación sería exhibir una clase de subconjuntos de algún conjunto que cumpla 1, 2 y 3 pero contenga un miembro cuyo complemento no sea una unión disjunta de miembros.

Estaría interesado si alguien aquí pudiera responder a tu dilema de una forma u otra.

Answer 3

Ciertamente $3'$ implica $3$ así que solo necesitamos mostrar que $3$ implica $3'$. Puedes escribir $X\backslash P$ como

$$X\backslash P=\cup_i^n A_i$$

Define $B_1=A_1$, $B_2=A_2\backslash A_1$, $B_3=A_3\backslash A_2\backslash A_1$... Notar que por ejemplo, $B_2=A_2\cap(X\backslash A_1)$. Lo he escrito de esta forma para mostrar que está en tu semiálgebra, en particular los complementos de los conjuntos se definen tomando partes del espacio entero y escribiéndolos como una unión de conjuntos finitos. Luego

$$X\backslash P=\cup_i^n B_i,$$

donde los $B_i$ son disjuntos. Este es un truco común para obtener uniones disjuntas a partir de uniones no disjuntas.

Answer 4

En lugar de (1) utilizo (1') $X\in S$. Se deduce que bajo las suposiciones (1') y (2), (3) y (3') son equivalentes.

¿Necesitas una prueba, o es obvio?