Creo que una forma de ver esto es restando $\frac 1 5$ desde ambos lados de la ecuación para producir la siguiente:
$$\sum_{i-1}^5\frac 1 i-\frac 1 5=\frac{X}{5Y}-\frac 1 5$$
$$\sum_{i-1}^4\frac 1 i=\frac{X-Y}{5Y}$$
El mínimo común denominador de los números de $1$ a través de $4$ no ha $5$ como un factor ya que $5$ es primo. Sin embargo, el denominador del lado derecho tiene $5$ como un factor. Esto significa que tanto el numerador y el denominador debe haber sido multiplica por un múltiplo de $5$ a partir de la original de la reducción de la fracción. Por lo tanto, $5 | (X-Y)$ desde $X-Y$ es el numerador de la fracción resultante de esta multiplicación.
Ahora, queremos mostrar a $X \equiv Y \pmod{125}$. Sin embargo, si se demuestra que $125 | (X-Y)$, $X-Y \equiv 0 \pmod{125}$ e lo $X \equiv Y \pmod{125}$. Por lo tanto, necesitamos comprobar que $125 | (X-Y)$.
Ahora, express $\sum_{i=1}^4\frac 1 i$ $\frac{p}{4!}$ algunos $p \in \mathbb{N}$. Si $25 | p$, entonces el numerador de la reducción de la fracción es también divisible por $25$ debido a que mediante la reducción de una fracción con denominador $4!$, no hay forma de deshacerse de $25$ como un factor ya que $4!$ $25$ son coprime.
Por lo tanto, si mostramos $25 | p$, entonces a partir de la $X-Y$ es un múltiplo de a $5$ veces el numerador de la reducción de la fracción, $125 | (X-Y)$$5*25=125$. Por lo tanto, demostrando $25 | p$, tenemos probado el teorema.
No he resuelto este problema todavía, así que no sé si me estoy dirigiendo en la dirección correcta, pero espero que esto le dará algo para ir fuera de la. Buena suerte!
