Estoy trabajando en el siguiente problema de Stein y Shakarchi:
Deje $f$ ser una parte integral de la función en $\mathbb{R}^d$ tal que $\|f\|_{L^1} = 1$ y deje $f^*$ por la de Hardy-Littlewood máximo de la función correspondiente de $f$.
- Probar que si $f$ es integrable en a $\mathbb{R}^d$, e $f$ no es idénticamente cero, $f^*(x) \geq c/|x|^d $ algunos $c > 0$ y todos los $|x| > 1$.
- A la conclusión de que $f^*$ no es integrable en a $\mathbb{R}^d$.
- A continuación, muestran que el débil tipo de estimación $m(\{x:f^*(x) > \alpha \}) \geq c/\alpha$ todos los $\alpha > 0$ siempre $\int|f| = 1$, es el mejor posible en el siguiente sentido: si $f$ es compatible con la unidad de pelota con $\int|f| = 1$, $m(\{x:f^*(x) > \alpha \}) \geq c'/\alpha$ algunos $c' > 0$ y todos lo suficientemente pequeño $\alpha$.
[Sugerencia: Para la primera parte, utilizar el hecho de que $\int_B|f| > 0$ para algunos balón $B$.]
No estoy realmente seguro de por dónde empezar con este. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
