Sistema de ecuaciones con 4 incógnitas.

Question

Estoy tratando de resolver este sistema de ecuaciones, pero estoy llegando a un callejón sin salida.

$$\begin{array}{lcl} xyz & = & x+y+z \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ xyt & = & x+y+t \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ xzt & = & x+z+t \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ yzt & = & y+z+t \ \ \ \ \ \ \ (4)\\ \end{array}$$

Por lo tanto, (1)-(2) da $$xyz-zyt=xy(z-t)=z-t\Rightarrow xy=1.$$

(3)-(4) $$xzt-yzt=zt(x-y)=x-y\Rightarrow zt=1.$$

Este sistema se reduce a $$\begin{array}{lcl} xy & = & 1 \ \ \ \ \ \ \ (5)\\ zt & = & 1 \ \ \ \ \ \ \ (6)\\ \end{array}$$

Una solución trivial es$x=y=z=t=\pm1,$, pero esto no puede ser porque entonces tendría que dividir por cero antes en mis simplificaciones.

¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Restando $(1)$$(2)$, de establecer

$$xy=1\lor z=t.$$

Pero enchufar $xy=1$ $(1)$ reduce a

$$z=x+y+z$$ or $$x=-y,$$ que no es compatible.

La repetición con una permutación circular de las variables, las únicas soluciones posibles son trivialmente con $x=y=z=t$.

Answer 2

Vamos a encontrar todas las soluciones utilizando sólo (1), (2) y (3).

Lo que hace la diferencia entre las dos primeras ecuaciones consigue $xy=1$ o $x=y$. Supongamos que $xy=1$. A continuación, $x,y$ tienen el mismo signo y por lo tanto se $\neq 0$. Esto implica que $$ z=xyz=x+y+z=x+\frac{1}{x}+z \implica x+\frac{1}{x}=0, $$ que es impossibile desde $|x+\frac{1}{x}|\ge 2$ para todos los no-cero de reales $x$ (por AM-GM). Por lo tanto $x=y$ ($\neq 1$ y $\neq -1$, de lo contrario $xy$ todavía estarían $1$).

La primera y segunda ecuaciones son (*) $$ z(x^2-1)=2x \text{ y }t(x^2-1)=2x. $$ En particular, $z=t$. Esto significa que la única de las dos primeras ecuaciones implican $x=y \notin \{\pm 1\}$$z=t$.

Finalmente, usando (3), obtenemos $xz^2=x+2z$, hecen podemos reducir a $$ x(z^2-1)=2z\text{ y }z(x^2-1)=2x. $$ Si $x=0$ también $z=0$ y viceversa. De lo contrario, substituing la primera en la segunda obtenemos $$ z=\frac{2x}{x^2-1}=\frac{4z}{\left(z^2-1\right) \left(\left(\frac{2z}{z^2-1}\right)^2-1\right)}=\frac{4z(z^2-1)}{4z^2-(z^2-1)^2}. $$ Desde $z\neq 0$ $$ 4z^2-(z^2-1)^2=4(z^2-1) \Leftrightarrow (z^2-3)(z^2+1)=0. $$ Por lo tanto $|z|=\sqrt{3}$. Por lo tanto sólo tenemos el trivial soluciones.

Answer 3

Dos soluciones triviales.

Aviso que por simetría, si dejamos $x=y=z=t=a$, cada ecuación es sólo $3a=a^3$, de modo que podemos tener $(x,y,z,t)=(0,0,0,0), (\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}), (-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})$.

Answer 4

No. $xyz-zyt=xy(z-t)=z-t\implies (\text{$xy=1$ or $z=t$})$.