Integrar a $\int x \sqrt{2 - \sqrt{1-x^2}}dx$

Question

parece que la integración por partes con relación a la sustitución de...

$$\int x \sqrt{2-\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{5} \sqrt{2-\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2}+\frac{8}{15}\sqrt{2-\sqrt{1-x^2}}+c$$

Cómo puedo obtener?

Answer 1

Deje $x=\sqrt{1-y^2}$, entonces la integral se convierte en

$$-\int dy \, y \, \sqrt{2-y}$$

Integrar por partes:

$$\frac{2}{3}y (2-y)^{3/2} + \frac{2}{3} \int dy \, (2-y)^{3/2}$$

que es

$$\frac{2}{3}y (2-y)^{3/2} - \frac{4}{15} (2-y)^{5/2} + C$$

Por eso

$$\int dx \, x \, \sqrt{2-\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{3} \sqrt{1-x^2} \left ( 2-\sqrt{1-x^2}\right)^{3/2} - \frac{4}{15}\left ( 2-\sqrt{1-x^2}\right)^{5/2}+C$$

Answer 2

Vamos, $1 - x^2 = u^2 \implies - 2x dx = 2u du$, esto le da a su valor integral, $\displaystyle - \int u \sqrt{2 - u} \; \mathrm du$. Ahora intenta usando integración por partes.

Answer 3

No necesitas ningún tipo de integraciones por partes para este. Como otros han sugerido, si sustituye $u^2 = 1 -x^2$ $2u\,du = -2x\,dx$ la integral se convierte en $$-\int u\sqrt{2 - u}\,du$$ Ahora hay que hacer otro sustitución de $v = 2 - u$, y la integral se convierte en $$\int (2-v)\sqrt{v}\,dv$$ $$= \int 2v^{1 \over 2} - v^{3 \over 2}\,dv$$ $$= {4 \over 3} v^{3 \over 2} - {2 \over 5} v^{5 \over 2} + C$$ La sustitución de la espalda $v = 2 - u = 2 - \sqrt{1 - x^2}$ esto se convierte en $${4 \over 3} (2 - \sqrt{1 - x^2})^{3 \over 2} - {2 \over 5} (2 - \sqrt{1 - x^2})^{5 \over 2} + C$$ Esta es la respuesta final.

Answer 4

Bienvenido a StackExchange! Usted puede usar Látex-Fórmulas mediante el uso de signos de dólar $x^2$ $\longrightarrow{}$ $x^2$.

Como primer paso he utilizado la sustitución de $u:=\sqrt{2-x^2}$, lo que implica $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{x}{u}$. Así que tenemos que solucionar $\int \sqrt{2-u}\cdot u\ \mathrm{d}u$. Esto se puede hacer mediante la integración parcial (http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts, el uso de $v'=\sqrt{2-u}$), que los rendimientos de $-2/15 (2-u)^ {3/2} (4+3 u)+c$. Este debería ser el equivalente a su resultado, si se sustituyen $u$$\sqrt{1-x^2}$.