Derivado de los conjuntos de prueba $(A \cup B)' = A' \cup B'$

Question

Estoy tratando de demostrar $(A \cup B)' = A' \cup B'$ donde $S'$ denota la derivada de algunos subconjunto $S$ a de un espacio topológico $X$. Derivar un conjunto de $S'$ de un conjunto $S$ es el conjunto de $x \in X$ tal que $x$ es en el cierre de $S-\{x\}$. Estoy teniendo preocupante que muestra que $(A \cup B)' \subseteq A' \cup B'$.

Lo que he hecho hasta ahora: Supongamos $x \in (A \cup B)'$. Entonces para cualquier vecindad $U$ $x$ se sigue que $U$ intersecta $(A \cup B)-\{x\}$ $U$ intersecta $A-\{x\}$ o $B-\{x\}$. Pero no veo por qué no habríamos de tener un barrio de $x$, $U_{1}$, que intersecta $A-\{x\}$ pero no $B-\{x\}$ barrio y otro $U_{2}$ que hace todo lo contrario. En este caso, $x$ sería en ni $A'$ ni $B'$. Podemos decir que el $U_{1} \cap U_{2}$ no es sólo $\{x\}$ porque $\{x\}$ estaría abierto contradiciendo $x \in (A \cup B)'$.

Answer 1

Ah, acabo de dar cuenta que esto es exactamente Etienne comentario.

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Si todos los barrios de $x$ cruzan ambas $A\setminus\{x\}$$B\setminus\{x\}$, entonces hemos terminado. Por lo tanto, suponemos que, al contrario, un vecindario $U$ cruza sólo $A\setminus\{x\}$. Vamos a probar que $x\in A'$.

Supongamos $V$ es cualquier barrio de $x$ y tenga en cuenta que $U\cap V$ es un barrio de $x$. Desde $U\cap V\cap(B\setminus\{x\})\subseteq U\cap(B\setminus\{x\})=\emptyset$, se deduce que el $U\cap V$ intersecta $A\setminus\{x\}$. Por lo tanto, $V$ intersecta $A\setminus\{x\}$ como se desee.