Cuántos cardenales hay?

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 9(X): hay un fin natural a este proceso de formación de nuevos infinito cardenales? Recomendamos este ejercicio en lugar de contar ovejas cuando usted tiene problemas para conciliar el sueño.

(Esta es la de W. Justo y M. Weese, el Descubrimiento de la Moderna Teoría de conjuntos, vol.1, p.34.)

Por este proceso que significan $|\mathbb N| < |\mathcal P(\mathbb N)| < |\mathcal P (\mathcal P (\mathbb N))| < \dots$. Mi primera respuesta fue "Obviamente no hay ningún fin". pero entonces el ejercicio se supone que para ser un reto ("X-rated"), así que esto debe ser malo y hay un final. Pero cuando exactamente? Cuántos cardenales hay? Lo que sería un "fin natural"? Gracias por su ayuda!

Answer 1

No sé lo que tienen en mente, pero el proceso descrito es sólo $\omega$ pasos. Para ir más lejos, usted tiene que tomar la unión de lo que ya tenemos y empezar de nuevo. Es decir, el proceso en varias ocasiones de tomar el poder establecido obtendrá $\beth_0,\beth_1,\beth_2,\dots$ y, por tanto, $\beth_n$ por cada $n\in\omega$, pero no más allá de aquellos. Si usted toma la unión de todos los conjuntos de poder, se puede conseguir algo cuya cardinalidad es $\beth_\omega$, y usted puede comenzar a encender de nuevo.

Answer 2

Creo que lo que este ejercicio le invita a contemplar es la de lo "natural" podría incluso decir aquí.

Está claro que el $|\mathcal P^n(\mathbb N)|$ secuencia le da un infinito contable de diferentes infinito cardenales, pero es que es un "final"? Y si es así, sería un "natural"? "Countably infinito" es, como ustedes saben por ahora, un lugar pobre y enfermizo tipo de infinito. Podríamos tener el continuum de muchos diferentes cardenales, por ejemplo?

Si usted ha aprendido acerca de las iniciales de los números ordinales, usted podría considerar la posibilidad de lo que este concepto implica para el tipo de orden de la colección de todos los cardenales con su orden inherente.

Answer 3

Creo que es importante considerar el contexto en el que se hace esta pregunta.

Primero tenemos el Cantor del Teorema (Teorema 5, p.32), que dice que $| A | < | \mathcal{P} (A) |$ para cualquier conjunto $A$.

Pero también tenemos el Teorema 7 (p.34), que voy a citar en su totalidad:

Deje $\mathcal{M}$ ser un conjunto de cardenales tal que $\forall \mathfrak{m} \in \mathcal{M} \exists \mathfrak{n} \in \mathcal{M} ( \mathfrak{m} < \mathfrak{n} )$, y deje $\mathcal{A}$ ser una familia de conjuntos tales que a $\forall \mathfrak{m} \in \mathcal{M} \exists A \in \mathcal{A} ( |A| = \mathfrak{m} )$. A continuación, $| \bigcup \mathcal{A} |$ superior a cada cardenal en $\mathcal{M}$.

Es este último ingrediente que permite que este proceso se extienda más allá del simple sucesor de los casos. (Y esto es lo que los demás han dicho.)

Empezar con $X_0 , X_1 = \mathcal{P}(X_0) , X_2 = \mathcal{P} (X_1) , \ldots , X_{n+1} = \mathcal{P} ( X_n ) , \ldots $ y, a continuación, después de $\omega$ pasos $X_\omega = \bigcup_{n < \omega} X_n$. Por el Teorema de $7$ sabemos que $| X_\omega | > | X_n |$ todos los $n < \omega$. Continuamos con $X_{\omega + 1} , X_{\omega_2} , \ldots , X_{\omega \cdot 2} , X_{\omega \cdot 3} , \ldots , X_{\omega \cdot \omega}$ etc. Incluso podemos imaginar que este se extiende más allá de los contables ordinales, llegando a $X_{\omega_1}$ que va a satisfacer $| X_{\omega_1} | > | X_\alpha |$ todos los $\alpha < \omega_1$. Y esto puede continuar aún más.

Answer 4

Asumir que hay un fin y $A$ es un conjunto de cardinalidad máxima. A continuación, usted todavía tiene $|\mathcal P(A)|>|A|$, contradicton.

Es aún peor: El "set" de cardinalidades no es un conjunto - porque no podría tener una cardinalidad. (Aunque hay un poco más de la historia detrás de eso).

Answer 5

Esta es una cuestión de enfoque filosófico de lo que significa "un fin natural". Después de todo, no hay ningún fin natural para la generación de números naturales -- pero lo cierto es que termina en algún lugar, porque sabemos que la mayoría de los ordinales son innumerables.

En la misma nota de la generación de los cardenales no termina mientras usted tiene los números ordinales para iterar a través de (ya sea en el poder conjunto de la operación; o, en el Hartogs número de operación; o los límites de estas construcciones). En este sentido no hay ningún fin natural para el proceso de generación de nuevos cardenales.

Sin embargo, si uno piensa en las operaciones realizadas a lo largo de la clase de los números ordinales como las operaciones que terminan cuando se "ejecute fuera de los ordinales", y si se puede ejecutar fuera de los números naturales no hay ninguna razón usted no puede ejecutar fuera de los ordinales así, en este caso no es , de hecho, la conclusión natural a la generación de nuevos conjuntos y por lo tanto de los nuevos cardenales.