¿Cuál es el valor esperado de la media de la desviación absoluta respecto a la media de k números escogidos al azar?

Question

Dicen que tenemos que elegir aleatoriamente a los k números enteros de n. Los números están en el rango de < a; b >. ¿Cuál es el valor esperado de la media de la desviación absoluta respecto a la media para que un subconjunto de k-números de la serie de dibujos enfoques infinito?

Lo siento si no me explico. Podría usted explicar la respuesta de modo que sea comprensible para los no tan brillante estudiante de secundaria?

EDIT: Esto no es la tarea :) Somobody me preguntó el programa de vizualization de los resultados de la lotería Lotto y solo tengo curiosidad acerca de las estadísticas de que.

Answer 1

No tengo una respuesta completa; estoy publicando esto en caso de que alguien lo encuentra interesante o útil. Supongo muestreo con reemplazo; el "sin reemplazo" variación parece mucho más difícil.

Estamos interesados en la cantidad $$ \mathbf E \left[\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \left| X_i - \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_k}{k} \right| \right] $$ donde $X_1, \ldots, X_k$ son iid tomada de una distribución $\mathcal D$. Por linealidad de la expectativa y de la simetría, esto es igual a $$ \begin{align*} \mathbf E \left[\left| X_k - \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_k}{k} \right| \right] &= \mathbf E \left[\left| \frac{(k-1)X_k - (X_1 + X_2 + \cdots + X_{k-1})}{k} \right| \right] \\ &= \frac{k-1}{k} \cdot \mathbf E \left[\left| X_k - \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{k-1}}{k-1} \right| \right] \\ &= \frac{k-1}{k} \cdot \mathbf E \left[\left| X_k - Y \right| \right] \end{align*} $$ donde $Y = \frac{X_1 + \cdots + X_{k-1}}{k-1}$ es independiente de $X_k$.

Answer 2

Ya que esto puede ser una tarea, aquí están algunos consejos:

1. Cuando el número de dibujos enfoques infinito, ¿cuál será la media de cerca?
2. Se puede trabajar la desviación de la media para cada una de las $n = b-a+1$ valores posibles?
3. Puede tomar los valores absolutos de estas desviaciones y, a continuación, tomar la media (es decir, sumarlos y dividir por $n$)?

Puede que se encuentre realizando los cálculos dos veces, una para $n$ extraño y de una vez por $n$ incluso.