Un "número" con un número infinito de dígitos es un número natural?

Question

El conjunto de los números naturales es infinito y contables. Ok. Pero piense en un objeto con infinitos dígitos (141258173412873....). Es un número natural?

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Edit: Lo que me pareció confuso fue el hecho de que, dado que N es un infinito conjunto, un objeto con infinita de dígitos debe ser también un número y debe pertenecer a N. sé que esto es un ingenuo que vista. Pero ahora las cosas son más claras para mí, gracias a tus respuestas! Si tuviera que explicar a una persona que no (demasiado) educado en matemáticas lo que N (el conjunto de los números naturales) es, me gustaría empezar con este:

considere el siguiente algoritmo (procedimiento) para la construcción de N={1,2,3,4....}:

1. num = 1
2. N es el vacío partir de un conjunto de números
3. poner num N
4. num = num + 1
5. repetir de 3

Ahora, ¿ N de objetos con un número infinito de dígitos? No. El procedimiento que se va para siempre, pero cada vez que añadimos un número N (paso 3), el número que se le está agregando tiene un número finito de dígitos.

Esta opinión es sólo ligeramente diferente de los otros las respuestas a mi pregunta original, pero creo que es bastante simple de explicar por qué un procedimiento en el que se va para siempre y construir objetos con un número creciente de dígitos no producir un conjunto de objetos con un número infinito de dígitos.

Answer 1

El principio de inducción matemática dice que si $S$ es un subconjunto de los números naturales tal que:

• $1\in S$; y
• Si $n\in S$,$n+1\in S$;

a continuación,$S=\mathbb{N}$; es decir, $S$ es el conjunto de todos los números naturales.

Deje $S=\{k\in\mathbb{N}\mid k\text{ has only finitely many digits when written in base 10 with no leading 0s}\}$.

Claramente, $1\in S$. Si $n\in S$, $n$ puede ser escrito con un número finito de dígitos, decir $k$. A continuación, $n+1$ puede estar escrito en cualquiera de las $k$ dígitos así, o, en el peor de los casos (cuando $n = \underbrace{9\cdots99}_{k\text{ digits}}$) $k+1$ dígitos; de cualquier manera, si $n\in S$$n+1\in S$.

Por inducción, llegamos a la conclusión de que $S=\mathbb{N}$. Es decir, cada número natural tiene sólo un número finito de dígitos escrito en base 10 con ningún líder 0s.

Así que una infinita cadena de dígitos (omitiendo el "tonto" posibilidad de infinitamente muchos de los principales 0s), cualquiera que sea, no es un número natural.

Answer 2

Consideremos el conjunto de todos los "objetos con infinitos dígitos" y llamar a $S$. Usted ha dicho que $\mathbf{N}$ es contable. Es $S$? Si usted considera que el Cantor de la diagonal argumento, usted verá rápidamente que $S$ es una de la onucontables conjunto. Así, al menos, hay infinitamente más elementos de $S$ que hay números naturales.

Answer 3

El conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales es generalmente definido mediante la función sucesor: por número natural $n$, $S(n) = n+1$. A continuación definimos los números naturales como sigue:

1. $0 \in \mathbb{N}$
2. Para todos $n \in \mathbb{N}$, $S(n) \in \mathbb{N}$.

Así que para su "número" $(141258173412873....)$$\mathbb{N}$, tendríamos que tener un número natural $m$, de modo que $S(m) = (141258173412873....)$. Trate de encontrar este número y usted ve que no puede existir, ya que "la adición de $1$" no tiene sentido cuando no hay $1$'s lugar para agregar el$1$.

Answer 4

Usted puede probar por inducción que $ N < 10^N$ es válido para cualquier número natural N. Entonces N tiene a lo sumo N dígitos, un número finito. Bien, tienes que creer que los números naturales son finitos, pero ya que todos se obtienen mediante la adición de 1 a 1 de un número finito de veces, creo que estamos de acuerdo en este punto.

Answer 5

Cada número natural tiene un número infinito de dígitos. E. g. 1 = ...00000001.