Carácter de $\text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})$

Question

Me han dado las siguientes dos preguntas, y por tanto estoy muy seguro de qué hacer (soy un principiante con la teoría de caracteres).

Deje $G$ ser un grupo finito, $\mathbb{C}G$ de su grupo de álgebra más $\mathbb{C}$. $\text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})$ forma una $\mathbb{C}G$-módulo con la acción definida, para $a,b \in \mathbb{C}G$, $f \in \text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})$, por $(af)(b) = f(ba)$.

Con este módulo se estructura definida en $\text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})$, en primer lugar, quiero encontrar a $\chi_{\text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})}(g)$ todos los $g \in G$. En segundo lugar, en el caso de que $G = S_3$, quiero expresar $\chi_{\text{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}G,\mathbb{C})}(g)$ en términos de caracteres sencillos. Podría alguien por favor describa claramente cómo hacerlo.

Answer 1

El Grupo de álgebra $\mathbb{C}[G]$ puede ser visto como un espacio de Hilbert de dimensión igual a $\# G$. Tiene un $G$-bimodule estructura por la derecha e izquierda de la traducción. Ahora $\mathbb{C}[G]$ es isomorfo como un $G$-bimodule a la doble $\mathbb{C}[G]$. La única cosa a tener cuidado es de que a la derecha de la multiplicación obtiene asignada a la izquierda de la multiplicación y viceversa.

Teniendo esto en mente, vemos que el carácter de ser calculada es igual a $$ g \mapsto \sum\limits_{\pi \in \widehat{G}} \dim(\pi) \; tr\; \pi(g) , $$ donde $\widehat{G}$ es el conjunto de iso.-clases de irred. representantes de $G$.