Demostrar que no de $4x^{n} + (x+1)^{2} = y^2$ ' tiene soluciones del número entero positivo $n \ge 3$

Question

La ecuación es: $4x^{n} + (x+1)^{2} = y^2$ tarea es demostrar:

un) para $n = 1$ no existen soluciones

b) $n = 2$ allí es un número infinito de soluciones

c) para $n \ge 3$ no existen soluciones

He probado $a$ y $b$, pero no tienen idea acerca de $c$. No tiene nada de común con $a$ y $b$

Answer 1

Para $x, y$ positiva y $n \geq 3$, nota:$y \equiv x+1 \pmod{2}$, por lo que

$$4x^n=y^2-(x+1)^2=(y-(x+1))(y+(x+1))$$ $$x^n=\frac{y-(x+1)}{2}\frac{y+(x+1)}{2}$$

Ahora si $\exists$ primer $p$$p \mid \frac{y-(x+1)}{2}$$p \mid \frac{y+(x+1)}{2}$,$p \mid x^n$$p \mid x$. También se $p \mid \frac{y+(x+1)}{2}-\frac{y-(x+1)}{2}=(x+1)$, una contradicción.

Por lo tanto $\gcd(\frac{y-(x+1)}{2}, \frac{y+(x+1)}{2})=1$, por lo tanto $\frac{y-(x+1)}{2}$ $\frac{y+(x+1)}{2}$ (positiva) $n$th poderes. Así se puede escribir $$\frac{y-(x+1)}{2}=\alpha^n, \frac{y+(x+1)}{2}=\beta^n, x=\alpha\beta$$ for some positive integers $\alpha, \beta$.

A continuación,$\alpha\beta+1=x+1=\frac{y+(x+1)}{2}-\frac{y+(x+1)}{2}=\beta^n-\alpha^n$.

Es evidente que requieren $\beta>\alpha$. Escribir $\beta=\alpha+k$, $k$ un entero positivo. Entonces

$$\alpha^2+k\alpha+1=\alpha\beta+1=\beta^n-\alpha^n=(\alpha+k)^n-\alpha^n \geq nk\alpha^{n-1} \geq 3k\alpha^2$$

Sin embargo

$$3k\alpha^2-(\alpha^2+k\alpha+1)=(k-1)\alpha^2+k\alpha(\alpha-1)+(k\alpha^2-1) \geq 0$$

así lo sostiene la igualdad y debemos tener

$$(k-1)\alpha^2=k\alpha(\alpha-1)=(k\alpha^2-1)=0$$

es decir,$k=\alpha=1$, es decir,$\alpha=1, \beta=2$. Pero, a continuación,$3=\alpha\beta+1=\beta^n-\alpha^n=2^n-1$, lo $n=2$, una contradicción.