Verificar la siguiente ecuación: $\sin (x+iy)=\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y$

Question

Cuando intenté esto, obtuve una respuesta que fue muy cercano pero no correcta. Triple Comprobé mi trabajo pero no encuentro un error. ¿Alguien podría ayudarme?

Mi intento: $$\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y = (\frac{-ie^{ix}+ie^{-ix}}{2})(\frac{e^y+e^{-y}}{2})+(\frac{ie^{ix}+ie^{-ix}}{2})(\frac{e^y-e^{-y}}{2})$ $

$$=\frac{1}{2}\left [(-ie^{ix+y}-ie^{ix-y}+ie^{-ix+y}+ie^{-ix-y}) + (ie^{ix+y}-ie^{ix-y}+ie^{-ix+y}-ie^{-ix-y}) \right ]$$

$$=\frac{1}{2} \left [ -2ie^{ix-y} + 2ie^{ix+y} \right ]$$

$$=ie^{y-ix}-ie^{-y+ix}$$

Sin embargo, debe ser la respuesta correcta final (de tungsteno):

$$sin(x+iy)=\frac{1}{2}\left [ ie^{y-ix} - ie^{-y+ix} \right ]$$

¿Dónde estoy fallando?

Answer 1

Hay un enfoque más sencillo:

Desde $$ \color{red}{\sin(iy)} =\frac{e^{i(iy)}−e^{−i(iy)}}{2i}=\frac{−i(e^{−y}−e^y)}{2}=i\sinh(y)$ $ y

$$ \color{blue}{\cos(iy)} =\frac{e^{i(iy)}+e^{−i(iy)}}{2}=\frac{(e^{−y}+e^y)}{2}=\cosh(y)$$

Por lo tanto $$\begin{align}\sin(x+iy)&=\sin(x)\color{blue}{\cos(iy)}+\cos(x)\color{red}{\sin(iy)}\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\end{align}$ $

Answer 2

primero me prueban que $\cos(ix) = \cosh(x)$, tener en cuenta que $e^x=\exp(x)$.

nos khow que $$\cos(x) = \frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}$ $ tan $$\begin{align} \cos(ix) & = \frac{\exp\Big(i(ix)\Big)+\exp\Big(-i(ix)\Big)}{2}\\ & = \frac{\exp\Big(i^2x\Big)+\exp\Big(-i^2x\Big)}{2}\\ & = \frac{\exp(-x)+\exp(x)}{2}\\ & = \cosh(x) \end {Alinee el} $$ también $ de $$\sin(iy)=i\sinh(y)$ y $$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ $ ahora sé, si $a=x$ y $b=iy$ entonces $$\begin{align} \sin(x+iy) & = \sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\ &= \sin(x)\cosh(y)+\cos(x)\Big(i\sinh(y)\Big)\\ &= \sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y) \end{} $$

Answer 3

Fuerza bruta:\begin{align*} z &= x+yi \\ \sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ &= \frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{2i} \\ &= \frac{e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^{y}(\cos x-i\sin x)}{2i} \\ &= \frac{(e^{y}+e^{-y})\sin x}{2}+ \frac{i(e^{y}-e^{-y})\cos x}{2} \\ \sin (x+yi) &= \sin x \cosh y+i\cos x \sinh y \end{align*}