Igualdad de módulo en el límite de un dominio acotado

Question

Deje $G$ ser un almacén de dominio, $f$ $g$ holomorphic y funciones continuas en toda la $\overline{G}$ y deje $|f(z)|=|g(z)|$ todos los $z\in \partial G$. ¿Qué podemos decir acerca de $f$$g$?

Definir: $h(z) = \frac{f(z)}{g(z)}$, si g tiene cero puntos, entonces no podemos decir mucho porque de las singularidades. Si g no tiene puntos cero, entonces con el principio del máximo para delimitada dominios de ello se sigue que h tiene su máximo en el borde. Debido a que |f(z)|=|g(z)| para todos los $z\in \partial G$ se deduce que el módulo es 1. Si ahora f tiene cero puntos, entonces no podemos decir nada más sobre él. Si f no tiene puntos cero, entonces podemos usar el principio de mínima para delimitada dominios. Con que se deduce que también el módulo de la mínima debe ser de 1.

A partir de ahí se puede concluir que : $|h(z)|=\frac{|f(z)|}{|g(z)|}=1$ todos los $z\in G$. Así que si f y g no tienen cero puntos, $f(z)=\lambda g(z)$

Es esto correcto?

Answer 1

Si $f$ y $g$ no tiene ningún $0$ $G$ podemos concluir, por principio del módulo máximo, que $|f(z)|=|g(z)|$ % todos $z\in G$.

No podemos conseguir cuando hay un cero. Por ejemplo, $G$ es el disco unidad abierto y $f(z)=z$, $g(z)=z^2$. Entonces $|g(z)|=|f(z)|(=1)$ $\partial G$, pero por supuesto no $g$.

Answer 2

En general, no podemos decir mucho acerca de $f$ y $g$. Por ejemplo, supongamos que $G$ es un dominio de Jordania. Entonces $G$ es simplemente conectado, hay un mapa conformal $f$ $G$ en el disco de la unidad. Por otra parte, es un teorema bien conocido que en este caso, $f$ se extiende a un Homeomorfismo de $\overline{G}$ en el disco de unidad cerrada, asignación de límite de $G$ en el círculo unitario. Por lo tanto, $|f(z)|=|g(z)|$ $\partial G$, donde $g \equiv 1$...

Answer 3

Definir: $h(z) = \frac{f(z)}{g(z)}$, si g tiene cero puntos, entonces no podemos decir mucho porque de las singularidades. Si g no tiene puntos cero, entonces con el principio del máximo para delimitada dominios de ello se sigue que h tiene su máximo en el borde. Debido a que |f(z)|=|g(z)| para todos los $z\in \partial G$ se deduce que el módulo es 1. Si ahora f tiene cero puntos, entonces no podemos decir nada más sobre él. Si f no tiene puntos cero, entonces podemos usar el principio de mínima para delimitada dominios. Con que se deduce que también el módulo de la mínima debe ser de 1.

A partir de ahí se puede concluir que : $|h(z)|=\frac{|f(z)|}{|g(z)|}=1$ todos los $z\in G$. Así que si f y g no tienen cero puntos, $f(z)=\lambda g(z)$

Es esto correcto?