¿Por qué es el Vitali ajustado no necesariamente es igual al intervalo por ejemplo [0,1]?

Question

No parecen de obtener las propiedades de conjuntos de Vitali, que los hace diferentes de los intervalos, por ejemplo [0,1].

Answer 1

La Vitali conjunto no puede ser un intervalo. Mariano Suárez-Alvarez mencionado, un conocido resultado es que el conjunto de Vitali no es medible, pero cada intervalo es cuantificable.

Sin embargo, incluso más elementales que eso: Un conjunto de Vitali contiene exactamente un elemento de cada uno coset de $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ (como aditivo de los grupos). Alternativamente, usted puede definir la relación de equivalencia en $\mathbb{R}$ $a \sim b$ si y sólo si $a - b \in \mathbb{Q}$. El conjunto de Vitali, entonces es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. $\mathbb{Q}$ es la clase de equivalencia que contiene a $0$. Por lo tanto, Vitali conjunto sólo contienen un número racional. La Vitali conjunto no puede ser un intervalo dado intervalos contienen más de un número racional.