Cómo expresar el resultado del triple producto cruzado de dos vectores en coordenadas esféricos (vector unitario)

Question

Tengo un sistema de ecuaciones diferenciales como la siguiente: (problema real es más complejo, aquí es sólo un ejemplo)

$$ \frac{\mathrm{d}\textbf{M}_1}{\mathrm{d}t}=\frac{A}{M_{1}M_{2}}[\textbf{M}_1\times(\textbf{M}_1\times\textbf{M}_2)]+\frac{B}{M_1}(\textbf{M}_1\times\textbf{M}_2) \\ \frac{\mathrm{d}\textbf{M}_2}{\mathrm{d}t}=\frac{C}{M_{2}M_{1}}[\textbf{M}_2\times(\textbf{M}_2\times\textbf{M}_1)]+\frac{D}{M_2}(\textbf{M}_2\times\textbf{M}_1) $$ A, B, C, y D son sólo constantes. $\textbf{M}_1$ $\textbf{M}_2$ son dos vectores y sus derivados a lo largo del tiempo (t) tiene tal relación. Dado que la magnitud de $\textbf{M}_1$ $\textbf{M}_2$ es invariable a lo largo del tiempo, y solo estoy interesado en el cambio de $\theta$ $\phi$ de ambos vectores, por lo que quiero expresar las ecuaciones en coordenadas esféricas y uso de la unidad de vectores de $\theta$$\phi$. Por lo tanto, las ecuaciones pueden ser separados a 4 ecuaciones, cada una de las cuales trata con un solo parámetro: $\hat{\theta}_1$, $\hat{\phi}_1$, $\hat{\theta}_2$ y $\hat{\phi}_2$. (En mi caso, $\theta_{1,2}$ es el ángulo entre el $\textbf{M}_{1,2}$ y +z dirección, ${\phi}_{1,2}$ es el ángulo de $\textbf{M}_{1,2}$ +dirección x en el plano x-y.)

El lado izquierdo de las ecuaciones por lo tanto puede ser re-escrita como:

$$ \frac{\mathrm{d}\textbf{M}_1}{\mathrm{d}t}=M_1(\frac{\mathrm{d}\theta_1}{\mathrm{d}t}\hat{\theta}_1+\frac{\mathrm{d}\phi_1}{\mathrm{d}t}\sin\theta_1\hat{\phi}_1) \\ \frac{\mathrm{d}\textbf{M}_2}{\mathrm{d}t}=M_2(\frac{\mathrm{d}\theta_2}{\mathrm{d}t}\hat{\theta}_2+\frac{\mathrm{d}\phi_2}{\mathrm{d}t}\sin\theta_2\hat{\phi}_2) $$

Pero no puedo expresar el lado derecho de las ecuaciones para la expresión similar con $\hat{\theta}_1$, $\hat{\phi}_1$, $\hat{\theta}_2$ y $\hat{\phi}_2$.

Así que mi pregunta es, podemos expresar los elementos en el lado derecho como similares, como el lado izquierdo de las ecuaciones diferenciales? He probado esta ecuación: $\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot{\textbf{b}})$ para que la triple producto vectorial. Pero resulta en una ecuación con $\textbf{M}_1$$\textbf{M}_2$, y no parece ser expresada por $\hat{\theta}_1$, $\hat{\phi}_1$, $\hat{\theta}_2$ y $\hat{\phi}_2$ más. Para $\textbf{M}_1\times\textbf{M}_2$, no tengo ni idea...

Muchas gracias por tu ayuda!

Saludos cordiales,

Answer 1

Usted puede escribir ${\bf M}_{1,2}=M_{1,2}\hat{r}_{1,2}$. A partir de la relación entre el esférico y coordenadas polares, tales como en https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates#Unit_vector_conversionsla segunda tabla, es trivial demostrar que $\hat{r}=\hat{\theta}\times\hat{\phi}$, e $$\frac{d\hat{r}}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta}+\frac{d\phi}{dt}\frac{\partial \hat{r}}{\partial \phi}=\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}+\frac{d\phi}{dt}\sin\theta\hat{\phi}$$ Usted ya ha utilizado esta ecuación para el lado izquierdo.

El producto cruzado ${\bf M}_1\times{\bf M}_2$ ahora puede ser escrito como $${\bf M}_1\times{\bf M}_2=M_1M_2\hat{r}_1\times\hat{r}_2=M_1M_2(\hat{\theta}_1\times\hat{\phi}_1)\times(\hat{\theta}_2\times\hat{\phi}_2)$$ Ahora usted puede utilizar las siguientes formas de la cuádruple producto cruzado $$(A\times B)\times(C\times D)=(D\cdot(A\times B))C-(C\cdot(A\times B))D\\=(A\cdot(C\times D))B-(B\cdot(C\times D))A$$ para obtener las ecuaciones en términos de $\hat{\theta}_1$, $\hat{\theta}_2$, $\hat{\phi}_1$, $\hat{\phi}_2$.

Tenga en cuenta que las ecuaciones pueden no ser separables.