Límite de$L^1$ espacio

Question

¿Hay cualquier noción heurística o rigurosa de límite de $L^1$ que se estudia? Me refiero a algo vagamente como la colección de funciones o distribuciones definidas por

$$\left\{f\notin L^1: f_n\to f\quad\text{a.e.}\quad \text{as} \quad n\to \infty \quad \text{where} \quad f_n\in L^1\right\}$$

Y ¿qué tipo de características o propiedades de esta "superficie"?

Editar: Cambiar a la convergencia del pointwise.

Answer 1

$L^1$ es el espacio de Banach, el conjunto es vacío. También se puede demostrar de esta manera: cada $m,n$ tenemos $$ \int_\mathbb{R}|f_n-f_m| \le \int_\mathbb{R}|f_n-f|+\int_\mathbb{R}|f-f_m|, $$ es decir $(f_n)$ es a secuencia de Cauchy, y puesto que $L^1$ es espacio de Banach, existe un $g \in L^1$ tal que $f_n \to g$. Por unicidad del límite concluimos que $f=g \in L^1$.

Answer 2

Creo que el conjunto es simplemente el conjunto de todos (no integrable) funciones medibles con $\sigma$-finito de apoyo.

En particular, si el espacio en cuestión es $\sigma$-finito (como $\mathbf R$ con medida de Lebesgue), entonces todas las funciones medibles son pointwise límites de funciones integrables.

Edit: limpiado un poco.

En una dirección:

1. Claramente no es suficiente para mostrar que, para no negativo funciones;
2. Deje $f$ ser medible no negativa de la función, y $S_n$, un aumento de la secuencia de conjuntos finitos medida que el $\mathrm{supp}f\subseteq \bigcup_nS_n$.
3. Vamos $A=\lbrace x\mid f(x)=\infty\rbrace$, $A_n=\lbrace x\mid f(x)<n\rbrace$.
4. A continuación, para cada una de las $n$ puesto $f_n(x)=f(x)$ en $A_n\cap S_n$, $f_n(x)=n$ en $A\cap S_n$, $f_n(x)=0$ de lo contrario.
5. A continuación, $f_n$ son integrables y $f_n\to f$ pointwise.

En la otra dirección, nos muestran que el apoyo de un pointwise límite de una secuencia de función integrable ha $\sigma$-finito de apoyo:

1. Tomar una secuencia arbitraria de funciones integrables $f_n$
2. Cualquier función integrable $f_n$ $\sigma$- finito de apoyo a $B_n=\bigcup_m\lbrace x\mid \lvert f_n(x)\rvert>1/m\rbrace$.
3. El apoyo del límite de $f_n$ está contenido en $\bigcup_n B_n$ (ya que si en algún momento ninguna de las funciones es distinto de cero, ni es el límite), y, por tanto, $\sigma$- finito, así que hemos terminado.