Integrar:

Question

Integrar: $\int (x^2+a^2)^{-3/2} \cdot dx$

Mi acercamiento:

$\int (x^2+a^2)^{-3/2} \cdot dx$
$\int (x^2+a^2)^{-3/2} \cdot d(a^2+x^2)\cdot \frac{dx}{d(x^2+a^2)}$

Pero esto no da la respuesta correcta. Le mostré esto a mi amigo y dijo que$d(x^2+a^2)$ no es posible, lo que tiene sentido ya que no se puede tomar un pequeño elemento de la forma$(x^2+a^2)$. ¿Cómo puedo resolver esta integración sin utilizar la trigonometría ?

Answer 1

Aquí está la solución correcta. Nota para cualquier cosa de la forma$({x^2+a^2)^{n/2}}$ para n impar, considere el uso de la siguiente sustitución trigonométrica.

Por lo tanto, vamos$x=atan(u) \ (or \ x=asinh(u)$ funciona aswell$)$$\Rightarrow du=(a)sec^2(u)du$

Así tenemos:

ps

ps

Finalmente, tenemos:

ps

Answer 2

Siguiendo su idea, obtendremos$du=2xdx$ then$$I=\int (x^2+a^2)^{-3/2} dx=\int\frac{2xdx}{2x(x^2+a^2)^{3/2}}=\int \frac{du}{2\sqrt{u^4-a^2u^3}}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^{3/2}\sqrt{u-a^2}} $,$v=\frac{1}{u-a^2}$:$dv=-\frac{1}{(u-a^2)^2}$% ps

Y finalmente:$$I=-\frac{1}{2}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(a^2v+1\right)^\frac{3}{2}}\,\mathrm{d}v$ $

Answer 3

Utilizamos un truco para obtener una fórmula de reducción:$$ \frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{1}{a^2} \frac{x^2+a^2-x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{1}{a^2} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} - \frac{1}{a^2}\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}}. $ $ El primer término es de orden inferior, el segundo puede ser integrado por partes:$$ \int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}} \, dx = -\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} + \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}. $ $ Oh, pero ahora la nueva integral a la derecha cancela Con la integral de la primera fracción arriba mencionada! Por lo tanto$$ \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{1}{a^2} \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} +C, $ $ y es fácil verificar esto diferenciando.