Teoría elemental de números, cuando es$12n^2 + 1$ a square

Question

Demostrar que si

ps

Es un entero entonces es un cuadrado.

Puede alguien ayudarme con esto? Todo lo que sé es que k es un entero si y sólo si$$k = 2 + 2\sqrt{12n^2 + 1}$ es un cuadrado. ¿Que hago después?

Answer 1

$$\sqrt{12n^2+1}=m\Longrightarrow 12n^2+1=m^2\Longrightarrow \dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{m+1}{2}=3n^2$ $ Porque$m$ son números impares, por lo que$\dfrac{m-1}{2},\dfrac{m+1}{2}\in N^{+}$

Desde$$\gcd\left(\dfrac{m+1}{2},\dfrac{m-1}{2}\right)=1$ $

caso 1:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Caso 2: $$\dfrac{m-1}{2}=3u^2,\dfrac{m+1}{2}=v^2,uv=n$ $ desde$$\Longrightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2m+2=4v^2$ y$$\dfrac{m-1}{2}=u^2,\dfrac{m+1}{2}=3v^2\Longrightarrow 3v^2=u^2+1$

Así que eso es imposible

Answer 2

$m^2 = 12 n^2 + 1$ implica $m^2 - 12 n^2 = 1$, por lo que $$(m + n\sqrt{12} )= (7 + 2\sqrt{12} )^N$$ para algunos $N\ge 0$ (véase también el http://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation, sólo la mente de usted, su $n$ es nuestro $12$).

También tenemos el conjugado de la igualdad: $$(m - n\sqrt{12} )= (7 - 2\sqrt{12} )^N$$ y , por lo tanto, para $\sqrt{12n^2 + 1} = m$ somos, como @Thomas Andrews indicado

$$\sqrt{12n^2 + 1} = m = \frac{1}{2}(\, (7 + 2\sqrt{12} )^N + (7 - 2\sqrt{12} )^N) $$ y así

$$2 + 2\sqrt{12n^2 + 1} = (7 + 2\sqrt{12} )^N + (7 - 2\sqrt{12} )^N) + 2$$

Nota sin embargo de que $$7 \pm \sqrt{12} = (2 \pm \sqrt{3})^2 $$ y así obtenemos

$$2 + 2\sqrt{12n^2 + 1} = (2 + \sqrt{3} )^{2N} + (2 - \sqrt{3} )^{2N}) + 2\cdot (2 + \sqrt{3} )^N \cdot (2 - \sqrt{3} )^N = \\ = (\,( 2 + \sqrt{3})^N + (2-\sqrt{3})^N)^2$$

y dentro de la ménsula tenemos un número natural.