¿Requerimiento de separabilidad para la distancia medible?

Question

Estaba buscando el Teorema de Egorov en Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Egorov%27s_theorem

Una de las condiciones es que las funciones alcancen valores en un espacio métrico separable M, y en la sección "Discusión de supuestos" que sigue al teorema, se afirma lo siguiente: "La separabilidad del espacio métrico es necesaria para asegurar que para las funciones f y g, medibles y de valor M, la distancia d(f(x), g(x)) es de nuevo una función medible de valor real de x".

¿Puede alguien explicar cómo se demuestra la afirmación en negrita?

[EDIT]Para ser preciso, quiero saber cómo demostrar que "Si el espacio métrico M es separable, y las funciones f y g son funciones medibles que alcanzan valores en M, entonces la función de distancia d(f(x),g(x)) es medible".

Gracias.

Answer 1

Una forma más elegante e intuitiva (que se me ha ocurrido al terminar la prueba directa, así que la dejaré de todos modos...) de demostrarlo es la siguiente: si $M$ es un espacio métrico separable, es contable en segundo lugar.

De ello se deduce que los conjuntos abiertos son Borel en $M^2$ (con respecto al cuadrado del álgebra de Borel de $M$ Esto se debe a que no necesitamos uniones incontables para formar conjuntos abiertos).

En particular, las funciones continuas de $M^2$ a $\bf R$ como por ejemplo $d$ son de Borel con respecto al álgebra del producto. Por otro lado, $x\mapsto (f(x),g(x))$ es obviamente medible con respecto al producto álgebra de Borel, por lo que la composición de éste y $d$ es medible.

Answer 2

(Nota: esta es una prueba directa, pero bastante azarosa, he publicado otra respuesta con una más intuitiva, pero ya he escrito esta, así que la dejaré aquí).

Denote $d(f(x),g(x))$ por $h(x)$ y enumerar el subconjunto denso contable de $M$ con $s_n$ . Tenga en cuenta que $h(x)=r$ si y sólo si tiene $$ (\forall n\forall m)\;d(f(x),s_n)<1/m\implies r-1/m<d(g(x),s_n)<r+1/m $$ Para demostrar la mensurabilidad de $h$ es suficiente con mostrar que las preimágenes de los intervalos cerrados son medibles, o mostrar que sus complementos lo son. Pero mirando la fórmula anterior, se puede ver que $h(x)\notin [a,b]$ si y sólo si $$ (\exists n\exists m)\;d(f(x),s_n)<1/m\land (a-1/m\geq d(g(x),s_n)\lor d(g(x),s_n)\geq b+1/m) $$ Así que $X\setminus h^{-1}[[a,b]]$ es una unión contable de conjuntos medibles, y hemos terminado.