Probabilidad de tener al menos un par dibujando 4 zapatos de 12 pares.

Question

Hay $12$ pares de zapatos en un armario. $4$ son elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un par?

Mi primer intento: Si elegimos un par al principio y, a continuación, dibuje las dos al azar de entre el resto, entonces habrá al menos un par. Podemos elegir un par en ${12}\choose 4$ formas y elegir cualquiera de los $2$ desde el resto en ${22}\choose 2$ maneras. Por lo tanto, la probabilidad de= $\frac{{12\choose 4} \times {22\choose 2}}{{24\choose 4}}$ = $\frac{6}{23} =\frac{42}{161}$

Pero la respuesta es $\frac{41}{161}$.

Otro intento: Cada uno de los 4 zapatos que elija, va a venir de uno de los pares. Podemos elegir los cuatro pares en ${12\choose 4}$ maneras y puede seleccionar un zapato de cada uno de los pares en $2$ maneras, de modo que ningún par se obtiene. Por lo tanto, la probabilidad de =$1-$ $\frac{{12\choose 4} \times 2^4}{{24\choose 4}}$ = $\frac{41}{161}$

Lo que está mal en el primer intento?

Answer 1

Calcular el $1$ menos la probabilidad de que el complementario del suceso:

El número de formas de elegir los $4$ $24$ zapatos:

• Elija el $1$st zapato de $24$ zapatos
• Elija el $2$nd zapato de $23$ zapatos
• Elija el $3$rd zapato de $22$ zapatos
• Elija el $4$th zapato de $21$ zapatos

El número de formas de elegir los $4$ $24$ zapatos sin pares es:

• Elija el $1$st zapato de $24$ zapatos
• Elija el $2$nd zapato de $22$ zapatos
• Elija el $3$rd zapato de $20$ zapatos
• Elija el $4$th zapato de $18$ zapatos

Así que la probabilidad de elegir a $4$ $24$ zapatos con al menos un par es:

$$1-\frac{24\cdot22\cdot20\cdot18}{24\cdot23\cdot22\cdot21}$$

---

Por favor, tenga en cuenta que he tomado esencialmente en cuenta el orden de los zapatos.

Si me eligió no tomar en cuenta, entonces yo tendría que dividir cada resultado por $4!$.

Pero puesto que este factor aparece en el numerador y el denominador, puedo ignorarlo.

Answer 2

Su primer método puede contar dos veces la posibilidad de obtener dos pares: cuando "eligió$2$ del resto en${22 \choose 2}$ ways", puede elegir otro par y estos dos pares también se cuentan cuando Elegido en el otro orden.

En su segundo método de mirar$1-$ la probabilidad de elegir entre diferentes pares, un método similar es decir que cada vez que elige un zapato su par se vuelve indeseable, haciendo el resultado$$1-\frac{24}{24}\times \frac{22}{23}\times \frac{20}{22}\times \frac{18}{21} =\frac{41}{161}.$ $

Answer 3

Sólo para construir sobre la respuesta de Henry, supongamos que ponemos los pares de zapatos en orden, de 1 a 12. Por su método, que son más de contar picking par 1 y otro par 11 veces. Del mismo modo, usted está más de contar el par de picking 2 con otro par (diferente del par 1) 10 veces. Continuando, usted está contando excesivamente por el número triangular exactamente el 11,$T_{11} = 66$. Para corregir esto, $$ \ frac {12 \ cdot {22 \ elegir 2} -66} {24 \ elegir 4} = \ frac {41} {161} $$ como se desee.

Answer 4

En su primer método de recuento tiene dos recuento de las etapas. En el primero de ellos ha $12$ diferentes posibles resultados: $\{P_1, P_2,\ldots,P_{12}\}$ donde $P_i$ es un par en particular. En la segunda etapa tendría $\binom{22}{2}$ de los resultados para cada resultado o a la par de su primera etapa. Que le da un total de $12\binom{22}{2}$ resultados posibles. Ahora, echemos un botín de dos diferentes resultados de la primera etapa, decir $P_1$$P_9$. Para $P_1$ en la primera etapa, es posible tener $P_9$, como resultado en la segunda etapa, y para $P_9$ en la primera etapa, es posible $P_1$ en la segunda etapa, y ya que el resultado final $P_1P_9$ es lo mismo que $P_9P_1$, en realidad está contando dos veces el mismo resultado.