¿Por qué funcionan las series de Fourier?

Question

Me gustaría tener una comprensión intuitiva de las Series de Fourier. Quiero decir, conozco las fórmulas: $$f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi tL)+\sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n\pi tL)$$ Y dado una Onda, sé cómo hacer los cálculos, sin embargo, no tengo idea de por qué esta fórmula funciona además del hecho de que suma un infinito de senos y cosenos.

¿Cómo llegó Fourier a esta fórmula? ¿Y cuál es su significado? Agradecería si alguien pudiera darme una explicación breve o señalarme material de referencia.

Gracias de antemano

Answer 1

$\newcommand{\Vector}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\vece}{\Vector{e}}$Las preguntas vinculadas proporcionan buenas respuestas, pero pueden estar en el extremo técnico de lo "intuitivo". Aquí hay una motivación conceptual rápida y aproximada:

Si $\bigl(V, \langle\ ,\ \rangle\bigr)$ es un espacio de producto interno real de $N$ dimensiones, y si $\{\vece_{n}\}_{n=1}^{N}$ es una base ortonormal (ordenada), entonces un vector arbitrario $v$ en $V$ puede escribirse como una combinación lineal $$v = \sum_{n=1}^{N} \langle v, \vece_{n}\rangle \vece_{n}. \tag{1}$$ De hecho, $\{\vece_{n}\}$ es una base de $V$, por lo que existen coeficientes reales $a_{k}$ tales que $$v = \sum_{k=1}^{N} a_{k} \vece_{k}. \tag{2}$$ Tomando el producto interno de cada lado con $\vece_{n}$ se obtiene $\langle v, \vece_{n}\rangle = a_{n}$ porque la base $\{\vece_{n}\}$ es ortonormal.

De manera aproximada, uno podría esperar que una conclusión similar se cumpla si $V$ es de dimensión infinita. Obtener las definiciones y las hipótesis correctas y demostrar una versión de (1) en este nuevo entorno es por qué cualquier respuesta "honesta" está destinada a ser técnica. Frases entre comillas a continuación no son matemáticamente correctas y, por lo tanto, requieren una inspección cuidadosa y/o justificación.

Intuitivamente, sea $L > 0$ real, sea $V$ "el espacio de funciones de valores reales" en $[-L, L]$, y defina un "producto interno" por $$\langle f, g\rangle = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) g(t)\, dt.$$ Las funciones $$C_{n}(t) = \begin{cases} 1/\sqrt{2}, & n = 0, \\ \cos(n\pi t/L), & n > 0; \end{cases}\qquad S_{n}(t) = \sin(n\pi t/L),\quad n > 0;$$ resultan (por cálculo y trigonometría elementales) formar una base "ortonormal" de $V$.

De manera aproximada, esperamos que si $f$ es una función, podamos expresar $f$ como una suma infinita de estas funciones base, y los coeficientes son los productos internos de $f$ con los elementos de la base, es decir (para $n > 0$), $$\begin{align*} a_{0} &= \langle f, 1\rangle = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\, dt, \\ a_{n} &= \langle f, C_{n}\rangle = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos(n\pi t/L)\, dt, \\ b_{n} &= \langle f, S_{n}\rangle = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \sin(n\pi t/L)\, dt, \\ f(t) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} C_{n}(t) + b_{n} S_{n}(t), \\ &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos(n\pi t/L) + b_{n} \sin(n\pi t/L). \end{align*}$$ (La "especial" factor de $1/2$ en el término constante surge porque $C_{0} = 1/\sqrt{2} \neq 1$.)

Answer 2

No sé con certeza cómo Fourier se dio cuenta de que se puede representar cualquier función periódica como la suma contable de senos y cosenos, pero sospecho firmemente que la realización de que esto podría ser el caso provino del estudio de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales simples y separables (la mayoría de los primeros cursos de ecuaciones diferenciales parciales cubrirán esto en cierta profundidad).

Una Ecuación Diferencial Parcial (EDP) describe la tasa de cambio de una cantidad que depende de más de una variable independiente, por ejemplo, si consideramos la ecuación del calor en una dimensión:

$$\begin{equation} u_t(t,x) = ku_{xx}u(t,x), \quad k \in \mathbb{R}, \end{equation}$$

tenemos que $u:\mathbb{R_+}\times(-L,L) \to \mathbb{R}$ es una cantidad escalar correspondiente a la temperatura que depende del tiempo $t$ y una variable espacial $x$. Este es un modelo simple de cómo cambia la distribución de calor en una barra de hierro de longitud $2L$ con el tiempo. La ecuación dice que la tasa de cambio de la temperatura en un punto $x$, con respecto al tiempo, es proporcional a la segunda derivada espacial del calor en ese punto (intuitivamente, la segunda derivada espacial se puede interpretar como una medida de la no uniformidad de la distribución del calor - si los gradientes de temperatura son muy grandes, la temperatura cambiará más rápidamente. Espero que esto se alinee con tu intuición sobre cómo funciona la conducción del calor).

Una de las cosas buenas de la ecuación del calor es que es una ecuación $\textit{separable}$, es decir, si suponemos que la solución $u(t,x)$ se puede escribir como el producto de dos términos que dependen solo de una de cada una de las variables independientes, de modo que $u(t,x) = T(t)X(x)$ para dos funciones desconocidas $T$ y $X$ del tiempo y espacio respectivamente, entonces realmente podemos resolverlo, obtener una respuesta y justificar que nuestra suposición fue correcta. Sustituyendo esto en la ecuación del calor, obtenemos que

$$\begin{equation} T'(t)X(x) = kT(t)X''(x) \implies \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{kT(t)}. \end{equation}$$

Ahora, $\frac{X''(x)}{X(x)}$ es una función solo de $x$ y $\frac{T'(t)}{kT(t)}$ es una función solo de $t$. Dado que $t$ y $x$ son independientes, la única forma en que esta igualdad puede cumplirse para todos los $t$ y $x$ es si ambos cocientes son constantes (esto es un poco complicado hasta que lo ves, piénsalo detenidamente por un tiempo). Llamaré a esta constante $-\lambda^2$ por razones que quedarán claras.

Entonces tenemos que

$$\begin{equation} X''(x) = -\lambda^2X(x), \end{equation}$$

que tiene solución general $X(x) = A\cos(\lambda x) + B\sin(\lambda x). ¿Comenzando a verse prometedor? Si establecemos condiciones de contorno en la barra de modo que la temperatura en cada extremo sea fija en cero, entonces las condiciones correspondientes en$X$son$X(-L) = X(L) = 0. ¿Qué significa esto para nuestra solución general?

$$\begin{equation} A\cos(\lambda(-L)) + B\sin(\lambda(-L)) = 0 \,\, \text{y}\,\, A\cos(\lambda(L)) + B\sin(\lambda(L)) = 0 \implies \cos(\lambda L) = 0 \end{equation}$$

Al sumar usando la paridad de cos y sin. Esto implica $\lambda = (\pi/2 + n\pi)/L$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$ ya que estos son todos ceros de la función coseno. Ahora, por linealidad, si algún $n$ da una solución, también lo hará la suma de todos esos $n$, y así, con un poco de reorganización trigonométrica y cambio de nombre para eliminar el desplazamiento de fase, esto da

$$\begin{equation} X(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + B_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right) \end{equation}$$

Obviamente estoy yendo un poco rápido, pero espero que te dé la idea. Observa que no he abordado nada relacionado con $t$, eso es una historia para otro momento, pero creo que dado que describir una función desconocida (una solución espacial de la ecuación del calor) como una suma de senos y cosenos surge muy fácilmente del modelo, entonces no es un gran salto extender esta idea a cualquier función desconocida (ya sea periódica o acotada de modo que admita una extensión periódica), y así representa un posible camino que Fourier y sus contemporáneos podrían haber tomado.

Answer 3

Aunque otros dieron una explicación matemática más profunda, también existe la explicación musical/sonora. No sé exactamente cuándo se descubrió por primera vez esto, pero creo que incluso en los tiempos de los griegos, la gente conocía las "armónicas" en un sentido musical; es decir, ciertas vibraciones se suman para producir sonidos que son consonantes si las diferentes vibraciones tienen una relación entera y disonantes si las vibraciones no lo son.

Como músico, encontré la Serie de Fourier como un concepto muy intuitivo ya que ya me habían enseñado estas cosas en clase de música. Si tienes un software que lo permita (GNU Octave es lo que uso), intenta reproducir ondas sinusoidales individuales como audio, y prueba a sumar diferentes frecuencias juntas. Las ondas cuadradas y las ondas diente de sierra son formas comunes, y tienen un timbre muy distintivo.

Entonces, en cierto sentido, los músicos han conocido el Teorema de Fourier durante miles de años, pero la conexión matemática no era evidente.

Answer 4

Cada vez que surge este tema, encuentro muchas conjeturas que invierten el orden de la Historia de este tema. Algo de Historia real se puede encontrar en "A History of Functional Analysis" de Dieudonne. Resumiré parte de lo que se encuentra allí.

Fourier estaba investigando la conducción de calor. Estaba fascinado por el calor. Y pudo llegar con una teoría macroscópica del calor deduciendo cómo fluiría esta misteriosa sustancia "calor". Terminó con la ecuación clásica de Fourier para la temperatura: $$\frac{\partial u}{\partial t}= k\nabla^{2}u.$$ Luego procedió a resolver dichas ecuaciones inventando lo que ahora se llama el Método de Separación de Variables. Esto sin duda fue motivado en parte considerando las expresiones separadas conocidas anteriormente para los desplazamientos de una cuerda vibrante. Pero la novedosa idea de proponer soluciones separadas $u(x,t)=T(t)X(x)$, dividir por $TX$ para separar las variables, y concluir la existencia de un parámetro de separación fue de Fourier. Este fue el método de Fourier, y condujo a nuevos resultados. El método fue propuesto de casi la misma forma en que se enseña hoy en día.

Las soluciones separadas del problema de vibración para la cuerda eran conocidas por Fourier y otros, y habían sido propuestas décadas antes del trabajo de Fourier. E incluso se sabía que las condiciones de ortogonalidad integral de las funciones trigonométricas se cumplían. Las condiciones integrales de ortogonalidad eran una forma de aislar los coeficientes constantes en la solución, suponiendo que el desplazamiento inicial fuera conocido. Sin embargo, la gente creía que estas condiciones imponían restricciones sobre qué datos iniciales podían ser utilizados. No se propuso que una función general pudiera expandirse en una serie trigonométrica. Fourier dio un asombroso salto para la época postulando que las expansiones trigonométricas tendrían que cumplirse para cada función (mecánica) inicial. Y eso fue una partida radical del pensamiento matemático aceptado sobre el tema en ese momento. Fue tan radical que mantuvo su tratado original sobre la conducción del calor sin publicarse durante casi dos décadas. Lagrange, Poisson y otros lucharon contra él en esta idea. Después de todo, ¿cómo podría una serie de funciones analíticas ser algo diferente a analítico; por lo que no podían imaginar funciones por partes siendo expandidas de esta manera, incluso si estuvieran unidas continuamente.

La idea de que cada función pudiera expandirse de esta manera fue motivada en parte por la fe injustificada, pero constante de Fourier en su modelo de calor, y la idea de que las soluciones separadas debían ser completamente generales. Esto era un territorio nuevo, y estaba desafiando el pensamiento aceptado sobre el tema. Página tras página de identidades increíblemente detalladas, mostró que las expansiones de funciones comunes realmente funcionaban. Incluso mostró cómo expandir $cos$ en una serie de funciones $sin$, resultando en series de potencias de potencias impares para $cos$, al menos en parte del intervalo; esto abordó otra objeción. Mostró que se podrían manejar casos discontinuos, y que la convergencia sería al promedio de los límites izquierdo y derecho. Fourier tuvo que luchar para hacer que otros creyeran que podría estar en lo correcto en su creencia de que dicha expansión podía ser general.

Muchos aún acusan injustamente a Fourier de no haber sido preciso en absoluto. Para el crédito de Fourier, la expresión integral del núcleo de Dirichlet para la serie de Fourier trigonométrica truncada estaba en el trabajo original de Fourier. Pero debido a que ese trabajo fue prohibido de ser publicado durante tanto tiempo, Dirichlet fue acreditado con esta primera prueba general de convergencia bajo condiciones de suavidad. De hecho, según expertos, parece que la discusión de Fourier sobre convergencia usando la integral de Dirichlet era sólida y precedió la prueba de Dirichlet por décadas.

Abordar los problemas de expansión fue una fuerza motriz importante detrás de las Matemáticas rigurosas. En la época de Fourier, lo siguiente no existía

• La noción de una función general más allá de las fórmulas explícitas
• La integral de Riemann, medidas e integración de Lebesgue
• La definición de números reales
• Conceptos generales de convergencia
• Métodos para estudiar EDPs
• Espacio de producto interno o desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Normas y topología
• Teoremas de Stokes y Divergencia

Los historiadores acreditan el deseo de resolver las muchas conjeturas de Fourier como una fuerza motriz importante detrás del desarrollo de las Matemáticas rigurosas modernas. Creo que cualquiera que estudie estos métodos y vea que funcionan tiene que estar desconcertado y preguntarse, "¿Por qué?" Tal vez la respuesta sea Teoría Espectral, o Teoría de Grupos, o Álgebras de Operadores, o Análisis Real, o Análisis Complejo. Todas estas respuestas tienen algo que ver con ello, y todos estos temas fueron directa y profundamente influidos por el estudio general de la expansión de Fourier.

Answer 5

Fourier estaba observando las cuerdas de la guitarra. Razonó que la forma de onda (de la cuerda) cambia con el tiempo y que la amplitud en los extremos es siempre cero. Razonó intuitivamente que cualquier forma de onda de las cuerdas se puede representar como una suma ponderada de ondas seno/coseno que pueden encajar en la guitarra al tener amplitud cero en los extremos (es decir, los armónicos). Luego propuso que al eliminar la restricción de que la amplitud debe ser cero en los extremos, cualquier función continua se puede representar como una suma de ondas seno/coseno (ondas con diferentes longitudes de onda/frecuencias).