¿Por qué $A^TA$ invertible si $A$ tiene columnas independientes?

Question

¿Cómo puedo entender que $A^TA$ es invertible si $A$ tiene columnas independientes? He encontrado una similar pregunta al revés, así que intenté usar el teorema

$$ rank(A^TA) \le min(rank(A^T),rank(A)) $$

Dado $rank(A) = rank(A^T) = n$ y $A^TA$ produce un $n\times n$ matriz, parece que no puedo probar que $rank(A^TA)$ es en realidad $n$ .

También he intentado ver la cuestión de otra manera con las matrices

$$ A^TA = \begin{bmatrix}a_1^T \\ a_2^T \\ \ldots \\ a_n^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 a_2 \ldots a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A^Ta_1 A^Ta^2 \ldots A^Ta_n\end{bmatrix} $$

Pero todavía no puedo mostrar que $A^TA$ es invertible. Entonces, ¿cómo puedo entender mejor por qué $A^TA$ es invertible si $A$ tiene columnas independientes?

Answer 1

Supongamos que A es una $m \times n$ matriz ( $m\geq n$ ). Dado que $A$ tiene columnas linealmente independientes, por descomposición QR $A=QR$ donde $Q$ es un $m \times n$ con matriz ortonormal columnas y $R$ es un $n \times n$ matriz triangular invertible.

Así $A^TA=(QR)^T(QR)=R^T(Q^TQ)R=R^TR$ . Desde $R^T$ y $R$ son ambas invertibles, $A^TA$ es invertible.