Otorgado

Question

Deje$f$ ser limitado en$[a,b]$. Suponga que$f$ satisface$$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ $
para todos $a\le x_1 \le x_2 \le b $ . Demuestre que$f$ es continuo en$x$ cuando$a< x < b$.

Estoy más preocupado por cómo puedo derivar la prueba de esta pregunta

Answer 1

Una función que satisface $$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$ se llama punto medio convexo, que es un poco más débil noción de convexidad.

Mientras que cada función es convexa punto medio convexo, no todo en el punto medio convexa de la función es convexa. Cada función es convexa contiuous. También, cada continuo, punto medio convexa de la función es convexa. Sin embargo, no todo en el punto medio de la función es convexa contiunous. Un contraejemplo es tipologias de aquí.

EDIT: se me pasa por alto que el contraejemplo en el enlace es no acotada. Así que el problema sigue abierto.

EDIT 2: de Acuerdo a este artículo por el Verde y el Gustin, Ostrowski mostró en un papel en 1929, escrito en alemán, que cada punto medio convexo función acotada en un conjunto de medida positiva es continua. Por su parte, Ostrowski se refiere a un papel por Jensen desde 1906, escrito en francés, en el que se muestra en la página. 188 que cada delimitada punto medio convexa de la función es continua. Así hemos terminado.

Answer 2

$f(x)$ Está limitado en$[a,b]$ y es función convexa en$[a,b]$ por lo que es continua en$(a,b)$