El bien posedness de la ecuación de Laplace en el medio-espacio

Question

En $2$ dimensión, tome $-\Delta u=0$ $\{(x,y\},y\geq 0\}$ con $u(x,y=0)=f(x)$, $u_y(x,y=0)=g(x)$ donde $f$ $g$ son función suave. Quiero justificar si este problema está bien planteado.

Mi primera pregunta es, ¿a qué nos referimos por un problema bien planteado? En mi opinión, un problema bien planteado si este problema

$(1)$ tiene una solución

$(2)$ la solución es única.

$(3)$ la solución depende continuamente de los datos, es decir, el valor de límite en mi problema.

Pero mis amigos me dicen que no necesito singularidad, sólo de la existencia es suficiente para el bienestar plantea un problema. Estoy confundido, necesito singularidad o no?

Ahora, volvamos a mi problema. El libro afirma que este problema no está bien planteado y da un ejemplo de que $$ \frac{1}{n^2} e^{n\epsilon y}\sin(nx) $$ Pero he dejado de ver por qué este ejemplo me da la contradicción...

Cualquier ayuda es muy bienvenida!

Answer 1

Mi comprensión de "bien planteado" coincide con los elementos (1), (2), (3) usted le dio. Tenga en cuenta que (3) es vaga en que "continuamente" no se especifica. Una de las muchas posibles interpretaciones de (3) es: la evaluación de la solución en cualquier punto fijo $(x_0,y_0)$ da un continuo funcional en los datos iniciales con respecto al uniforme de la norma. [También se puede pedir para el conjunto solución de a $u(x,y)$ a depender continuamente en el uniforme de la norma, que es más exigente.]

Vamos a tomar $$f(x) = \frac{1}{n} \cos(nx), \qquad g(x) = 0 $$ como datos iniciales para este problema. Observar que tanto en $f$ $g$ convergen a $0$ uniformemente. Por otro lado, la solución es
$$u(x,y) = \frac{1}{n} \cos(nx)\cosh (ny )$$ Por lo tanto $u(0,1) = \frac{1}{n} \cosh n\to\infty$$n\to\infty$.

Tenga en cuenta que $1/n$ podría ser sustituido por cualquier otro poder negativo de $n$ aquí.

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El ejemplo $\frac{1}{n^2} e^{n\epsilon y}\sin(nx)$ funciona de manera similar: ambos $u(x,0)$ $u_y(x,0)$ tienden a $0$ uniformemente.

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También es cierto que la existencia falla para este problema, pero para dar un ejemplo de que es un poco más difícil. Aquí hay uno: $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty e^{-n} \cos(nx), \qquad g(x) = 0 $$ La solución es $$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty e^{-n} \cos(nx)\cosh ny$$ que es una función armónica para $0<y<1$... pero tiene graves problemas en $y=1$ y de más allá.