Cuándo es solucionable: $10^a+10^b\equiv -1 \pmod p$

Question

Si $p$ es un primo, $(a,p)=1$ Denota $ord(a,p)=d,$ donde $d$ es la solución entera positiva más pequeña de la ecuación $a^d\equiv 1 \pmod p$ Podemos demostrar que $$10^n\equiv -1 \pmod p\tag1$$ es solucionable si $ord(10,p)$ está en paz.

Ahora, considera esta ecuación, $$10^a+10^b\equiv -1 \pmod p.\tag2$$ Si $10$ es una raíz primitiva módulo $p$ entonces hay un número entero $a$ por cada $b!=\dfrac{p-1}{2}\pmod {p-1}$ para que $a,b$ satisface $(2)$ .

Mi pregunta es, ¿cuál es la condición necesaria y suficiente para que $(2)$ tiene al menos $1$ ¿solución?

Si nos dan un primo $p$ cómo determinar si $(2)$ ¿es solvente?

Esta es una forma, pero no efectiva: para cada entero positivo $b\leq\frac{1}{2}ord(10,p)$ determinar si $(2)$ es solvente para $a$ De esta manera, encuentro $(2)$ es solucionable para estos primos, que $10^n\equiv -1 \pmod p$ no tiene solución :

$3,31,37,43,53,67,71,83,107,151,163,173,191,199,227,277,283,307,311,317,347,359,397,431,439,443,467,479,523,547,563,587,599,613,631,643,683,719,751,757,773,787,797,827,839,853,883,907,911,919,947,991,\cdots$

Mi problema original es: ¿cuántos " $1$ " es necesario al menos para un número decimal que se compone de " $0$ " y " $1$ " y divisible por $p$ Esta pregunta es para encontrar estos primos que tres " $1$ " es necesario al menos.

Gracias.

Answer 1

Los primeros primos para los que no se puede resolver son $$5, 11, 41, 73, 79, 101, 137, 239, 271, 281, 641, 733, 859, 1321, 1409, 2531, 2791, 3191, 3541, 4013, 4093, 4637, 4649, 5051, 5171, 5237, 6163, 6299, 7253, 7841, 8779, 9091, 9161, 11831, 12517, 12671$$

La secuencia no parece estar en la OEIS.

Por otro lado, si se sustituye $10$ por $2$ hay https://oeis.org/A179113

EDIT: Dudo que haya una simple condición necesaria y suficiente. Pero aquí podría estar el inicio de un análisis heurístico que podría sugerir que debería haber infinitos.

Heurísticamente, si el orden de $10$ mod $p$ es $m$ evaluamos $10^a + 10^b \mod p$ durante aproximadamente $m^2/2$ pares desordenados $(a,b)$ por lo que el probabilidad de que ninguno de ellos sea congruente con $-1 \mod p$ debe ser aproximadamente $\exp(-m^2/(2p))$ . Así que si quieres encontrar primos $p$ para la cual su ecuación no es resoluble, podrías mirar aquellas en las que el orden de $10 \mod p$ es inferior a unos $\sqrt{p}$ .

El orden de $10 \mod p$ es $m$ o uno de sus divisores si $p$ divide $10^m - 1$ . Así que podríamos buscar primos $ p > m^2$ dividiendo $10^m - 1$ . Casi todos los enteros positivos $x$ tendrá al menos un factor primo mayor que $\log_{10}(x)^2$ (véase el teorema de Dickman).

Answer 2

La cosa parece bastante general. Consideremos el 7 en base 2. Aquí 2+4-1, mod 7, aunque 2 no es una raíz primitiva. La cosa se resuelve en qué condiciones son necesarias para que p divida la suma de tres potencias de 10. El número 37 divide cualquier suma de este tipo siempre que las tres potencias sean diferentes, módulo 3, por ejemplo, 100,011.

Tener un período divisible por $3$ implica que debe existir una solución, por esta razón.