Slick prueba de que el determinante es un polinomio irreducible

Question

Un polinomio $p$ sobre un campo $k$ se llama irreducible si $p=fg$ para los polinomios de $f,g$ implica $f$ o $g$ son constantes. Se puede considerar el factor determinante de una $n\times n$ matriz para ser un polinomio en $n^2$ variables. ¿Alguien sabe de una mancha de la manera de demostrar que este polinomio es irreducible?

Se siente como esto debería seguir muy fácilmente a partir de las propiedades básicas de determinante o una inducción argumento, pero no puedo pensar de una prueba interesante. Una consecuencia de este hecho es que el $GL_n$ es el complemento de una hipersuperficie en $M_{n}$. Gracias.

Answer 1

Deonote $p$ el determinante polyonomial. La observación de que $p$ es de grado uno en $x_{ij}$ por cada $(i,j)$.

Ahora podemos probar a $p$ es irreductible. Supongamos $p=fg$. Considere la posibilidad de $x_{11}$, supongamos $x_{11}$ aparece en $f$, $f$ es de grado uno en $x_{11}$ $g$ es de grado cero en $x_{11}$. Ahora considere el$x_{1j}$, $x_{1j}$ debe aparecer en $f$, de lo contrario $g$ es de grado uno en $x_{1j}$ $f$ es de grado cero en $x_{1j}$,$fg=(ax_{11}+b)(cx_{1j}+d)=acx_{11}x_{1j}+bcx_{1j}+adx_{11}+bd\in k[\ldots][x_{11},x_{1j}]$, contradicción. Así que todos los $x_{1j}$$f$$j=1,\ldots,n$. Similar a $x_{j1}$ son todos en $f$. Y desde $x_{j1}$$f$, se deduce $x_{jk}$$f$. Por último, todos los $x_{ij}$$f$. Y $g$ es una constante. Hemos terminado!

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Edit: Contradicción: view $p$ ser un polinomio de $x_{11},x_{1j}$, $p=x_{11}h_1+x_{1j}h_2+h_3\in k[\ldots][x_{11},x_{1j}]$ donde $h_1,h_2,h_3 \in k[\{x_{ij}\}\mid x_{ij}\neq x_{11},x_{1j}]$, es decir, son "constantes" acerca de $x_{11},x_{1j}$, pero $fg=acx_{11}x_{1j}+bcx_{1j}+adx_{11}+bd$, mientras que $0\neq ac \in k[\{x_{ij}\}\mid x_{ij}\neq x_{11},x_{1j}]$ $bc,ad,bd$ son "constantes" acerca de $x_{11},x_{1j}$(todos los resultados se obtienen a partir de la suposición de $f$ es un polynomila de grado uno en $x_{11}$ y de grado cero en $x_{1j}$ $g$ es de grado uno en $x_{1j}$ y de grado cero en $x_{11}$), por lo $p$ no igual a $fg$.

Answer 2

La prueba anterior puede encontrarse en M. Bocher "Introducción al álgebra superior" (Dover 2004) en las páginas 176-7.