Uso de la regla del cociente para diferenciar

Question

Utiliza la regla del cociente para diferenciar. Quiero saber si estoy haciendo esto correctamente:

$$f(x)=\frac {2x}{x^4+6}$$

En primer lugar, encuentro $f$ primo de $x$ y $g$ primo de $x$ :

$$f'(x) = 2$$ $$g'(x) = 4x^3$$

Después de usar la regla, termino con:

$$\frac {2x^4+12-8x^4}{(x^4+6)^2} = \frac {-6x^4+12}{(x^4+6)^2}$$

¿Sería esta la respuesta final si estoy en lo cierto? ¿O tengo que ampliar el denominador?

Answer 1

Como comprobación, puedes utilizar la regla de la cadena (si ya la has aprendido) y la regla del producto. (Yo la uso porque durante mucho tiempo nunca pude recordar el orden de la regla del cociente).

Dejemos que $f(x) = 2x(x^4 + 6)^{-1}$ . Para encontrar la derivada, aplica la regla del producto: $f'(x) = (2x)'(x^4 + 6)^{-1} + 2x\left[(x^4 + 6)^{-1}\right]'$ . Sigue adelante, aplicando la regla de la cadena:

$$\begin{aligned} \ 2(x^4+6)^{-1}+(2x)(-1)(x^4+6)^{-2}(4x^3) &= \frac{2}{x^4+6} - \frac{8x^4}{(x^4+6)^2} \\ \ &= \frac{2(x^4+6)-8x^4}{(x^4+6)^2} \\ \ &= \frac{12-6x^4}{(x^4+6)^2} \\ \end{aligned}$$

Puede ser un poco más largo para este problema. Sin embargo, siempre puedes utilizarlo para comprobar tu respuesta en un examen (o si alguna vez olvidas la regla del cociente).

Answer 2

Sí, así es. Recuerde que si $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ entonces $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}$ . Hay dos buenas razones para no ampliar el denominador de su resultado final:

1. El denominador no ampliado y el ampliado son equivalentes
2. El denominador no expandido puede ser en realidad "más fácil de trabajar" para fines algebraicos, por lo que es mejor dejarlo sin expandir hasta que surja la necesidad de trabajar con su forma expandida.