Supermartingale desapareciendo en algún tiempo de parada

Question

Deje $\left\{X_t\right\}_{t\in[0, T]}$ ser continua y no negativa supermartingale. Definimos el tiempo de parada $$\tau_0:=\inf\{t\in[0,T]:X(t)=0\}\wedge T$$ y de inmediato obtener por la continuidad de $X$ que $\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}X(\tau_0)=0$.s.

Quiero demostrar que la $X(t)=0$ para casi todas las $\omega\in\{\tau_0<T\}$ donde $t\in[\tau_0(\omega),T]$.

Lo que me establecidos hasta la fecha (uso opcional de frenado) es la siguiente: $$E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}X(T)]=E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}E[X(T)\mid F_{\tau_0}]]\le E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}X(\tau_0)]=0$$ Por lo tanto, como $X$ es no negativo, el resultado deseado de la siguiente manera para el terminal $t=T$. Por favor alguien puede ayudarme a demostrar todo el resultado de todas las otras veces? Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Usted puede generalizar su derivación a partir de: $$E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}X(T)]=E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}E[X(T)|F_{\tau_0}]]\le E[\mathbf{1}_{\{\tau_0<T\}}X(\tau_0)]=0$$ a: $$E[\mathbf{1}_{\{\tau_0=s\}}X(t)]=E[\mathbf{1}_{\{\tau_0=s\}}E[X(t)|F_{\tau_0}]]\le E[\mathbf{1}_{\{\tau_0=s\}}X(\tau_0)]=0$$ donde $t > s$.

Como usted ha mencionado, utilizando el hecho de que $X(t)$ es no negativo, puede implicar estado a partir de allí que: $$E[\mathbf{1}_{\{\tau_0=s\}}X(t)] = \int_0^\infty x p(x_t = x \wedge \tau_0=s) dx \leq 0$$ Esto sólo se puede mantener si $p(x_t = x \wedge \tau_0 = s) = 0$ todos los $x > 0$. Por lo tanto, para cualquier ruta de acceso que tiene un tiempo de parada $s$, $p(x_t > x) = 0$ para todos los $x > 0$.

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Para los futuros lectores: Cómo terminar la prueba Por un determinado $s$ me han demostrado que $P(X(t) = 0|\tau_0 = s) = 1$ todos los $t > s$. Ahora tome una contables subconjunto denso $t_i$$(s, T]$. A continuación,$P(X(t_i) = 0 \,\,\,\ \forall t_i | \tau_0 = s) = 1$. Un camino continuo que es cero en una contables denso conjunto de puntos debe ser cero en todas partes.

Ahora para terminar: $$P(X_t \neq 0 \,\,\, \textrm{for some} \,\,t > \tau_0 \wedge \tau_0 < T) = \int_0^T p(X_t \neq 0 \,\,\, \textrm{for some} \,\,t > s \wedge \tau_0 = s) ds = 0$$

Answer 2

Sólo tienes que mirar a más tiempos de detención. Para cualquier$t\geq 0$, tiene $$ {E} [\ mathbf {1} _ {\ tau_0 <T \}} X (T \ wedge (\ tau_0 t) \ Mathbf {1} _ {\ {\ tau_0 <T \}} E [X (T \ wedge (\ tau_0 t)) | F _ {\ tau_0}]] {\ {\ Tau_0 <T \}} X (\ tau_0)] = 0. $$ Esto da
$ $ $ $ $ $ $ $ \ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ \ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ' P (\ tau_0 <T), $$ y la continuidad de la trayectoria de la muestra le dará la conclusión deseada.

Answer 3

Deje $\epsilon > 0$ y considerar el tiempo de parada $$\tau_\epsilon = \inf\{t \in [\tau_0, T] : X_t \ge \epsilon\} \wedge T.$$ Desde $\tau_0 \le \tau_\epsilon$, casi con toda seguridad, opcional de frenado da $E[X_{\tau_\epsilon}] \le E[X_{\tau_0}]$. Ahora vamos a considerar los acontecimientos $\{\tau_0 < T\}$ $\{\tau_0 = T\}$ y escribir $$E[X_{\tau_\epsilon} ; \tau_0 < T] + E[X_{\tau_\epsilon} ; \tau_0 =T] \le E[X_{\tau_0} ; \tau_0 < T] + E[X_{\tau_0} ; \tau_0 =T].$$ Ahora $X_{\tau_0} = 0$ en el caso de $\{\tau_0 < T\}$. En el caso de $\{\tau_0 = T\}$ tenemos $X_{\tau_0} = X_T$, y por otra parte, desde la $\tau_\epsilon \ge \tau_0$, también tenemos $\tau_\epsilon = T$$X_{\tau_\epsilon} = X_T$. Así que nuestra desigualdad se convierte en $$E[X_{\tau_\epsilon} ; \tau_0 < T] + E[X_{T} ; \tau_0 =T] \le 0 + E[X_{T} ; \tau_0 =T]$$ mostrando que $E[X_{\tau_\epsilon} ; \tau_0 < T] \le 0$. Desde $X_{\tau_\epsilon}$ es no negativa tenemos $X_{\tau_\epsilon} = 0$ en casi todas partes en $\{\tau_0 < T\}$. Por otro lado, $\{\tau_\epsilon < T\} \subset \{\tau_0 < T\}$, y por la continuidad de $X_{\tau_\epsilon} = \epsilon$ en casi todas partes en $\{\tau_\epsilon < T\}$. Así llegamos a la conclusión de $P(\tau_\epsilon < T) = 0$, es decir, casi seguramente en $\{\tau_0 < T\}$, no existe $t$$[\tau_0, T)$$X_t \ge \epsilon$. Dejando $\epsilon \downarrow 0$ a lo largo de una secuencia, obtenemos que casi seguramente en $\{\tau_0 < T\}$, no existe $t \in [t_0, T)$$X_t > 0$. Esta es la conclusión deseada.

Answer 4

Aquí hay dos enfoques, uno más elemental que el otro.

1. Modificar su argumento para demostrar que $X(r) = 0$.s en el caso de $\{\tau_0< r\}$ por cada $r\in (0,T]$. Deducir de esto que el $X(r)=0$ por cada racional en $(\tau_0,T)$, un.s. en el caso de $\{\tau_0<T\}$. Ahora invocar la continuidad de $X$.

2. Deje $B=\{\omega: \tau_0(\omega)<T, X(t,\omega)>0$ algunos $t\in(\tau_0,T)\}$, y supongamos que $P[B]>0$. Entonces por Meyer Sección Opcional Teorema, no es un tiempo de paro $S\ge\tau_0$ tal que $P[S<\infty]>0$ $X(S(\omega),\omega)>0$ por cada $\omega\in\{S<\infty\}$. De manera opcional, con parada en el tiempo $S$, $E[X(S)]=0$ debido a $S\ge\tau_0$. En el otro lado $$ E[X(S)] \ge E[X(S); S<\infty] >0. $$ Esta contradicción muestra que $P[B]=0$.