Límite métrico y límite en la categoría

Question

Es posible construir una categoría $\mathcal{C}$$\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}=\mathbb{R}$, y para cada diagrama de la de $$a_0\leftarrow a_1\leftarrow\cdots a_n\leftarrow\cdots$$ the inverse limit exists if and only if the corresponding sequence $(a_n)$ converge y en este caso los límites coinciden?

Uno debe, probablemente, dar algunas restricciones, por lo que hay suficiente morfismos. Tirar estúpido ejemplos como los de $\mathrm{Mor}(x,y)=\varnothing$ $x\neq y$ $\mathrm{Mor}(x,x)=\{\mathrm{Id}_x\}$ supongamos que para cada $x,y$ al menos uno de los conjuntos de $\mathrm{Mor}(x,y)$ $\mathrm{Mor}(x,y)$ es no vacío(tal vez alguien se sugieren más adecuada restricciones)

Probablemente esta pregunta no tiene ningún sentido, pero teniendo la categoría de la estructura de la estructura de conjunto ordenado hace $\varprojlim a_i=\sup a_i$ que está cerca de la deseada.

Ningún resultado para otras métricas espacios también son interesantes.

Answer 1

Primer ejemplo. Deje $\mathrm{Mor}(x,y)$ estar vacío para $x<y$, y se compone de un elemento si $x\ge y$. Por lo tanto, si usted puede escribir un diagrama de este tipo, $(a_n)$ es no-disminución de la secuencia. Por lo tanto, este diagrama tiene el límite inversa iff $(a_n)$ delimitada por encima, y el límite inversa es igual a supremum.

Segundo ejemplo. Deje $\mathrm{Mor}(x,y)$ ser el conjunto de todos los caminos que conectan $x$ $y$ (debemos considerar este camino hacia reparametrization, para la composición de ley será asociativa). Este ejemplo funciona para todas las secuencias convergentes, al $a_n\to a_{n-1}$ es "camino recto", como es fácil de comprobar.

(se ve como un fundamental $\infty$-groupoid de un espacio topológico, pero no estoy de shure que $\infty$-construcciones funcionará como quieras)