Introducción
Vamos a arreglar $m\in \mathbb N$. Para cada n, el grupo unitario $\mathbf U(m)$ está representado en el espacio de tensores de rango $n$ $\mathbb C^m$ $$V_{n,m}=\bigotimes_{k=1}^n \mathbb C^m$$ and the symmetric group $S_n$ acts on $V_{n,m}$ by permutation of factors. Now the space $V_{n,m}$ breaks into the direct sum of subspaces $V_{n,m}(\lambda)$ which are primary with respect to each of these actions and irreducible with respect to the joint action of $S_n\times \mathbf U(m)$ $$V_{n,m}=\bigoplus_{\lambda \in \mathbb{Y}(n,m)}V_{n,m}(\lambda)$$
Donde $\lambda$ rangos de todos los Jóvenes diagramas de tamaño $n$ con $m$ filas (por Lo $\lambda \in \mathbb{Y}(n,m)$ $\lambda=(\lambda_1,\dots ,\lambda_k)$ es una partición de a$n$$k\le m$). Los tensores de $V_{n,m}(\lambda)$ se dice que tiene simetría de tipo $\lambda$. Podemos definir las dimensiones relativas $$d_{n,m}(\lambda)=\frac{\dim V_{n,m}(\lambda)}{\dim V_{n,m}}$$ que nos dicen cómo los tensores están distribuidos en la simetría de los tipos.
La motivación y la Pregunta
Estaba leyendo Kerov "Asintótica en la teoría de representaciones del grupo simétrico y aplicaciones en análisis" y que estaba tratando de aportar pruebas de que algunos de los resultados indicados allí. (Le da las referencias, que yo no puedo llegar en el momento.)
Los siguientes dos teoremas son debido a Kerov
Teorema 1 Si para cada una de las $\lambda$ asociamos $x=(x_1,\dots,x_m)$$x_k=\frac{\lambda ^{(n)}_k-n/m}{\sqrt{n}}$. La distribución conjunta de $x_k$'s $n\to \infty$ con respecto a la medida $d_{n,m}$ $\mathbb{Y}(n,m)$ converge débilmente a una absolutamente continua medida en el cono $C_m=\{x: x_1\geq x_2\geq\cdots \geq x_m \;;\;\sum x_k=0\}$ con la densidad de $$\phi _m(x)=c \prod _{i < j}(x_i-x_j)^2 e^{-m/2 \sum x_k^2}$$ donde $$c=\frac{m^{(m-1)m/2}}{1!2!\cdots (m-1)!}\left(\frac{m}{2\pi}\right)^{(m-1)/2}$$
.
Teorema 2 Deje $\lambda ^{(n)}\in \mathbb{Y}(n,m)$ ser el Joven diagrama para que los tensores de tipo $\lambda ^{(n)}$ son más probables. A continuación, $$\lim_{n\to \infty} \frac{\lambda ^{(n)}_k-n/m}{\sqrt{n/m}}=z_k$$ para cada una de las $k=1,2,\dots,m$ donde $z_1,z_2,\dots z_m$ son las raíces del polinomio de Hermite $H_m(z)$
Puedo demostrar el Teorema 2 suponiendo que el Teorema 1, pero no veo un buen argumento para probar el primer teorema de la misma. ¿Alguien puede proporcionar un esbozo de la prueba, o alguna sugerencia de cómo enfoque Teorema 1?
