¿Cómo se puede enumerar$\mathrm{Aut}(G)$, o al menos calcular$|\mathrm{Aut}(G)|$?

Question

Sé que los automorfismos en $\mathrm{Aut}(G)$ preservar el orden de los elementos de $G$, por lo que si $G$ es particiones de acuerdo a $\mathrm{Ord}$ (), el producto de las cardinalidades de las clases de equivalencia en $G/\mathrm{Ord}$ impone un límite superior en el número de posibles automorfismos de a $G$. (Esto es así al menos para un finito $G$.)

Por ejemplo, para $D_{12}$ (el diedro grupo de orden $12$) cuento

• 1 elemento de orden 1
• 7 elementos de orden 2
• 2 elementos de orden 3
• 2 elementos de orden 6

Así, por $D_{12}$ el producto descrito anteriormente es $1\cdot 7\cdot 2\cdot 2 = 28$.

Pero si $G$ es generado por $n < |G|$ elementos, a continuación, estoy tentado a decir que sólo estos elementos deben importar para el argumento anterior, y por lo tanto, sólo las clases de equivalencia de estos $n$ elementos deben aparecer en los productos mencionados anteriormente. Así, por ejemplo, desde la $D_{12}$ es generado por $n = 2$ elementos, ( $\alpha$ ) de la orden $2$ y uno ( $x$ ) de la orden $6$, el producto de las cardinalidades de su $G/\mathrm{Ord}$ clases de equivalencia es $7 \cdot 2 = 14$.

En cualquier caso, $\mathrm{Inn}(G) \lhd \mathrm{Aut}(G)$, y por lo tanto, espero que $|\mathrm{Inn}(D_{12})|$ a ser un divisor de a $|\mathrm{Aut}(D_{12})|$. Por desgracia, AFAICT, $|\mathrm{Inn}(D_{12})| = 6$, que no es un divisor de cualquiera de los números de la fórmula anterior ($28$ o $14$). (Cuento de que las clases conjugacy de los generadores $\alpha$ $x$ han cardinalidades $3$$2$, respectivamente; por lo tanto $|\mathrm{Inn}(D_{12})| = 3 \cdot 2 = 6$.)

La única manera que puedo ver para evitar una contradicción está a la conclusión de que el número calculan tomando el producto de las cardinalidades de las clases en $G/\mathrm{Ord}$ sólo proporciona un límite superior $|\mathrm{Aut}(G)$. (No estoy del todo convencido por el argumento, pero estoy demasiado cansado al momento de pensar en un estanco de la prueba o refutación de la misma.)

Tengo varias preguntas:

1. ¿Dónde está mi razonamiento ir mal arriba?
2. Existe un algoritmo para enumerar $\mathrm{Aut}(G)$ (o, al menos, para el cómputo de los $|\mathrm{Aut}(G)|$), al menos para un finito $G$?
3. Yo estaría interesado en conocer acerca de las herramientas y recursos para facilitar estos cálculos; son muy tedioso hacer a mano. (Especialmente en los casos donde el "razonamiento puro" va mal, como lo hizo anteriormente, sería bueno tener herramientas computacionales para confirmando de forma independiente uno del razonamiento.)

Answer 1

Reclama que el producto de las cardinalidades de los conjuntos de elementos de cada orden se da un límite superior en el tamaño de la automorphism grupo, pero esto es evidentemente falso: tomar el Klein cuatro grupo. Su automorphism grupo tiene seis elementos, pero la propuesta de su límite superior, $1 \cdot 3 = 3$, es demasiado pequeño. Wei Zhou da la correcta límite superior que surge esta forma de razonamiento, $1! \cdot 3! = 6$.

Su segundo bound es correcto (pero probablemente sólo porque usted tiene generadores de diferentes órdenes).

Otro error es pensar que no existen enteros positivos menores de 14 que son divisibles por 6. De hecho, hay dos: 6 y 12. El tamaño correcto es de 12.

Answer 2

En su ejemplo$D_{12}$, hay 7 elementos de orden 2, por lo que hay permutaciones$7!$. Por lo tanto, el límite superior de$|Aut(D_{12})|$ es$1!\cdot (7!)\cdot (2!) \cdot (2!)$.

Sé que para el grupo abeliano finito$G$, hay fomula para$|Aut(G)|$. Pero no sé el caso general.

Answer 3

El enfoque directo le da el "producto de factoriales" enlazado. Usted puede hacer lo mejor por la siguiente idea: vamos a llamar a $g \in G$ $k$-divisible si existe $h \not\in <g>$ tal que $h^k=g$. A continuación, el $k$-divisibilidad de la propiedad también respeta automorfismos y se puede dividir el conjunto de la elemets de orden fijo para subconjuntos más pequeños (y obtener el producto de menor factoriales).

Otro enfoque es el uso de clases conjugacy: el automorphism debe permutar clases conjugacy pero por lo general tienen diferentes cardinalidades.Este enfoque puede ser útil para encontrar exterior automorfismos porque interno automorfismos conserva clases conjugacy. Esto funciona bien para las $S_n$$A_n$.