Definición de par ordenada

Question

¿Por qué se ha definido el par ordenado$(x,y)$ como el conjunto$\{\{x\},\{x,y\}\}$?

Mi libro afirma que se define simplemente de esta manera y luego procede a realizar un montón de magia con esta definición.

Answer 1

Los detalles de cómo los pares ordenados son codificados no es importante, excepto que:

1. Usted tiene que ser capaz de demostrar, mediante los axiomas, que $(x,y)$ siempre existe y es único. En otras palabras, necesitamos asegurarnos de que la formación de pares ordenados es una auténtica función.

2. Debe ser comprobable que los pares ordenados tienen la siguiente propiedad.

$$(x,y)=(x′,y′) \rightarrow (x=x′∧y=y′).$$

Tenga en cuenta que el recíproco de la declaración anterior es inmediata, simplemente por el hecho de que $x,y \mapsto (x,y)$ es una función.

La definición dada (es decir, Kuratowski's) que hace un trabajo admirable de los dos 1 y 2, por lo tanto es el estándar de la definición de par ordenado en el material de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, si usted se está preguntando por qué Kuratowski la definición satisface la condición $2$, puedo explicarlo de esta manera. Una desordenada par puede ser definido como un conjunto $\{x,y\}$. Así que lo único que falta es un distinguido "primer" elemento". Así que elegir uno, llame a $x$, y por lo tanto "definir" que $(x,y)$ es igual a "$\{x,y\}$ junto con $x$."

Pero ¿qué significa "junto con" significa? Después de un poco de pensamiento, vemos que el mejor camino para formalizar esta es definir $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$.

En realidad, usted podría tratar de definir $(x,y) = \{x,\{x,y\}\},$, pero este parece tener algunos problemas técnicos. En particular, para demostrar que esta definición nos da la propiedad 2, tenemos que apelar a un muy serio axioma, llamado el Axioma de Regularidad. Para evitar este tecnicismo, Kuratowski la definición de que es la mejor.

Como comentario final (gracias a MJD), tenga en cuenta que la "inversa" (convención de la cual podemos distinguir el segundo término como opuesto a la primera) funciona igual de bien. A saber: $$(x,y)=\{\{y\},\{x,y\}\}.$$

No importa que hemos invertido el orden, porque hemos correctamente codificado término que viene primero, y por lo tanto la propiedad 2 todavía puede ser probada.

Answer 2

Es únicamente para demostrar que para cualquier $x,y,$ un conjunto $(x,y)$ existe reunión de las cualidades que queremos que un par ordenado: a saber, que los pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivos componentes son iguales. Una vez que la existencia de estas parejas se demuestran, no hay necesidad de adherirse a la definición específica por más tiempo. Otras definiciones que se dan a veces, pero la Kuratowski par ordenado hace que acredite la existencia y las propiedades deseadas muy simple (sólo Extensionality y de Vinculación son necesarios), por lo que tiende a ser usado en otras opciones.

De hecho, ninguna de $x,y.$ Por el Emparejamiento, $\{x,y\}$ existe, como no $\{x,x\}.$, por Extensionality, $\{x,x\}=\{x\},$ así que de nuevo por el Emparejamiento, $\bigl\{\{x\},\{x,y\}\bigr\}$ existe.

Ahora, supongamos $\bigl\{\{x\},\{x,y\}\bigr\}=\bigl\{\{u\},\{u,v\}\bigr\}.$ puede ser fácilmente demostrado por Extensionality que $\{x\}=\{x,y\}$ si y sólo si $x=y.$ En el caso de $x=y,$ entonces tenemos $\bigl\{\{x\}\bigr\}=\bigl\{\{u\},\{u,v\}\bigr\},$ por Extensionality, $\{u\}=\{x\}$ (por lo $u=x$ por Extensionality) y $\{u,v\}=\{x\}$ (por lo $v=x=y$ por Extensionality). En el caso de $x\ne y,$ no podemos tener a $\{u\}=\{x,y\}$ (ya que no podemos tener tanto en$u=x$$u=y$), por lo que debemos tener $\{u\}=\{x\}$ (por lo $u=x$ por Extensionality) y $\{x,y\}=\{u,v\}$ (por lo $v=y$ por un par de aplicaciones de Extensionality).

Answer 3

La definición de par ordenado estados que $(x,y)$ es un objeto con $x$ como su primera y $y$ como segundo componente. Dos pares ordenados son considerados iguales, si el siguiente se tiene:

$$ (x,y) = (x',y') \leftrightarrow (x = x' \wedge y = y'). $$

Con el fin de mostrar que el $\{ \{x\}, \{x,y\}\}$ es una representación equivalente de un par ordenado, es suficiente para demostrar que obedece a la anterior propiedad dada.

De acuerdo con el axioma del par conjunto, la colección de $\{ \{x\}, \{x,y\}\}$ es de hecho un conjunto. Dos conjuntos son iguales si cada elemento de un conjunto es el elemento del otro conjunto y viceversa: $$ \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x \}, \{ x', y' \} \} \leftrightarrow (\forall z) \: z \in \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \leftrightarrow z \in \{ \{ x \}, \{ x', y' \} \}. \text{ (1)} $$ Desde $ \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} $ es, de acuerdo a la par de establecer axioma, un conjunto, también tenemos $$ z \in \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \leftrightarrow z = \{ x \} \vee z = \{ x, y \}. $$ La inserción de esta identidad en (1) los rendimientos $$ (\forall z) \: z = \{ x \} \vee z = \{ x, y \} \leftrightarrow z = \{ x' \} \vee z = \{ x', y' \}, $$ o, de manera equivalente, $$ (\forall z) \: (z = \{ x \} \vee z = \{ x, y \} \rightarrow z = \{ x \} \vee z = \{ x', y' \}) \wedge (z = \{ x \} \vee z = \{ x,y \} \leftarrow z = \{ x \} \vee z = \{ x',y' \}). \text{ (2)} $$ Si $x = y$, (1) requiere que $$ (\forall z) \: z \in \{ \{ x \} \} \leftrightarrow z \in \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}. $$ En este caso la equivalencia tiene iff $x' = y'$ tal que $x = x'$$y = y'$.

Si $x \neq y$, (2) los rendimientos de los dos implicaciones para la cláusula 1 de la conjunción: $$ z = \{ x \} \rightarrow z = \{ x \} \vee z = \{ x', y' \}, $$ $$ z = \{ x,y \} \rightarrow z = \{ x \} \vee z = \{ x', y' \}. $$ Ya que por dos sets a ser igual que ellos necesitan para tener el mismo número de elementos, los dos últimos implicaciones para reducir $$ z = \{ x \} \rightarrow z = \{ x \}, \text{ (3)} $$ $$ z = \{ x,y \} \rightarrow z = \{ x', y' \}. \text{ (4)} $$ A partir de (3) tenemos que $x = x'$, mientras que (4) requiere que $$ \{ x,y \} = \{ x', y' \} \stackrel{(3)}{\longrightarrow} \{ x,y \} = \{ x, y' \} \rightarrow y = y'. $$ Resumiendo todo lo anterior los rendimientos $$ \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \} \leftrightarrow (x = x' \wedge y = y').$$ $\Box$

Answer 4

Esto no es una definición, es una "representación como un conjunto". Puedes vivir con parejas no representadas, como lo haces en la teoría de categorías, pero luego no podrás representar funciones y relaciones, y perderás todas las cosas que vienen con la teoría de conjuntos.

Cualquier representación sería buena siempre y cuando se pueda extraer "primero" y "segundo" con una función definida en la teoría de conjuntos. Todo ese "montón de magia" funcionaría exactamente igual.

Answer 5

Uno de los objetivos de la teoría de conjuntos fue definir todos los de la matemática en términos de conjuntos (donde un conjunto es una noción primitiva, es decir, no está definido). Como otros han señalado, esta definición existe simplemente para mostrar que es posible definir un par ordenado, con todas las propiedades que usted quiere, en términos de conjuntos. Wiener dio la primera definición de un par ordenado en términos de conjuntos, pero Kuratowski es más "elegante".