La similitud es más que superficial.
El "sesgo de la varianza en la solución de compromiso" puede ser interpretado como el Teorema de Pitágoras aplicado a dos perpendiculares Euclidiana vectores: la longitud de uno es la desviación estándar y la longitud de los otros es el sesgo. La longitud de la hipotenusa es la raíz del error cuadrático medio.
Una relación fundamental
Como punto de partida, considerar esta reveladora de cálculo, válido para cualquier variable aleatoria $X$ con un finito segundo momento y cualquier número real $a$. Desde el segundo momento es finito, $X$ tiene un número finito de decir $\mu=\mathbb{E}(X)$ que $\mathbb{E}(X-\mu)=0$, de donde
$$\eqalign{
\mathbb{E}((X-a)^2) &= \mathbb{E}((X-\mu\,+\,\mu-a)^2) \\
&= \mathbb{E}((X-\mu)^2) + 2 \mathbb{E}(X-\mu)(\mu-a) + (\mu-a)^2 \\
&= \operatorname{Var}(X) + (\mu-a)^2.\la etiqueta{1}
}$$
Esto muestra cómo la media del cuadrado de la desviación entre el $X$ y cualquier "punto de partida" valor " $a$ varía con $a$: es una función cuadrática de $a$, con un mínimo en $\mu$, cuando la media del cuadrado de la desviación es la varianza de $X$.
La conexión con los peritos y los prejuicios
Cualquier estimador $\hat \theta$ es una variable aleatoria debido a que (por definición) es un (medibles) función de variables aleatorias. Dejar que se juegan el papel de $X$ en el anterior, y dejar que el estimand (lo $\hat\theta$ se supone que la estimación) ser $\theta$, tenemos
$$\operatorname{MSE}(\hat\theta) = \mathbb{E}((\hat\theta-\theta)^2) = \operatorname{Var}(\hat\theta) + (\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta)^2.$$
Volvamos a $(1)$ ahora que hemos visto cómo la declaración sobre el sesgo+varianza de un estimador es, literalmente, un caso de $(1)$. La pregunta busca de "matemáticas analogías con los objetos matemáticos." Podemos hacer más que eso mostrando que el cuadrado integrable variables aleatorias, naturalmente, puede ser hecha en un espacio Euclidiano.
Formación matemática
En un sentido muy general, una variable aleatoria es un (medibles) con un valor real de la función en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathfrak{S}, \mathbb{P})$. El conjunto de funciones de cuadrado integrable, que a veces se escribe " $\mathcal{L}^2(\Omega)$ (con la probabilidad de la estructura se entiende), casi es un espacio de Hilbert. Para convertirlo en uno, tenemos a confundir a cualquiera de las dos variables aleatorias $X$ $Y$ que realmente no difieren en términos de integración: es decir, podemos decir $X$ $Y$ son equivalentes siempre que
$$\mathbb{E}(|X-Y|^2) = \int_\Omega |X(\omega)-Y(\omega)|^2 d\mathbb{P}(\omega) = 0.$$
Es sencillo comprobar que esta es una verdadera relación de equivalencia: lo más importante es que, al $X$ es equivalente a $Y$ $Y$ es equivalente a $Z$, entonces necesariamente $X$ será equivalente a $Z$. Podemos, por tanto, la partición de todos cuadrado integrable variables aleatorias en clases de equivalencia. Estas clases forman el conjunto $L^2(\Omega)$. Por otra parte, $L^2$ hereda el espacio vectorial estructura de $\mathcal{L}^2$ definido por pointwise adición de valores y pointwise la multiplicación escalar. En este espacio vectorial, la función
$$X \to \left(\int_\Omega |X(\omega)|^2 d\mathbb{P}(\omega)\right)^{1/2}=\sqrt{\mathbb{E}(|X|^2)}$$
es una norma, a menudo escrito $||X||_2$. Esta norma hace $L^2(\Omega)$ en un espacio de Hilbert. Pensar en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ como un "espacio Euclídeo de infinitas dimensiones." Cualquier finito-dimensional subespacio $V\subset \mathcal{H}$ hereda la norma de$\mathcal{H}$$V$, con esta norma, es un espacio Euclídeo: podemos hacer la geometría Euclidiana.
Por último, tenemos el hecho de que es especial para espacios de probabilidad (más que en la medida de los espacios): debido a que $\mathbb{P}$ es una probabilidad, es limitada (por $1$), donde la constante de funciones $\omega\to a$ (para cualquier número real fijo $a$) son de cuadrado integrable variables aleatorias con finito de normas.
Una interpretación geométrica
Considere la posibilidad de cualquier cuadrado integrable variable aleatoria $X$, considerado como un representante de su clase de equivalencia en $L^2(\Omega)$. Tiene una media de $\mu=\mathbb{E}(X)$ a que (como se puede comprobar) sólo depende de la clase de equivalencia de a $X$. Deje $\mathbf{1}:\omega\to 1$ ser la clase de la constante de la variable aleatoria.
$X$ $\mathbf{1}$ generar un Euclidiana subespacio $V\subset L^2(\Omega)$ cuya dimensión es en la mayoría de las $2$. En este subespacio, $||X||_2^2 = \mathbb{E}(X^2)$ es el cuadrado de la longitud de $X$ $||a\,\mathbf{1}||_2^2 = a^2$ es el cuadrado de la longitud de la constante variable aleatoria $\omega\to a$. Es fundamental que el $X-\mu\mathbf{1}$ es perpendicular a $\mathbf{1}$. (Una definición de $\mu$ es que es el único número para que este sea el caso.) Relación $(1)$ puede ser escrito
$$||X - a\mathbf{1}||_2^2 = ||X - \mu\mathbf{1}||_2^2 + ||(a-\mu)\mathbf{1}||_2^2.$$
De hecho es precisamente el Teorema de Pitágoras, básicamente de la misma forma conocida de 2500 años. El objeto $$X-a\mathbf{1} = (X-\mu\mathbf{1})-(a-\mu)\mathbf{1}$$ is the hypotenuse of a right triangle with legs $X-\mu\mathbf{1}$ and $(a-\mu)\mathbf{1}$.
Si a usted le gusta la matemática analogías, a continuación, usted puede usar cualquier cosa que puede ser expresado en términos de la hipotenusa de un triángulo en un espacio Euclidiano. La hipotenusa representará el "error" y que las piernas se representan los prejuicios y las desviaciones de la media.
