Un producto interno en un espacio vectorial real o complejo $V$ es un mapa bilineal $V\times V\to K$ (donde $K$ es el campo de tierra, ya sea $\bf R$ o $\bf C$ ), que satisface la simetría conjugada y la definición positiva; para que la segunda propiedad tenga sentido tenemos que darnos cuenta de que $\langle x,x\rangle$ es real para todos $x\in V$ (esto se deduce de la primera propiedad en realidad), por lo que tiene sentido decir que es no negativo.
El mapa $\|x\|=\langle x,x\rangle^{1/2}$ será de hecho una norma de espacio vectorial, y esta norma induce una métrica a través de la fórmula $d(u,v)=\|u-v\|$ . La parte no trivial de la comprobación de estos hechos es utilizar Cauchy-Schwarz para establecer la desigualdad del triángulo (fijar una base ortogonal para hacerlo).
No es posible definir un producto interior en un espacio vectorial sobre un campo de característica positiva, por definición. Sin embargo, es posible definir formas bilineales $(\cdot,\cdot):{\bf F}_q^n\times{\bf F}_q^n\to{\bf F}_q$ y dos vectores son ortogonales respecto a ella si $(a,b)=0$ . En la mayoría de los casos de característica positiva y dimensión mayor que uno es posible encontrar un $x$ que es ortogonal a sí mismo bajo el producto punto determinado por coordenadas habitual (esto es en realidad una interesante cuestión de teoría de números: sobre qué campos y números finitos $n$ ¿existen $n$ escalares no nulos cuyos cuadrados suman cero).
Tampoco es posible definir una métrica $X\times X\to {\bf F}$ donde $\bf F$ es un campo de característica positiva: por definición en primer lugar tendría que tomar valores reales, pero además no podría satisfacer la desigualdad del triángulo ya que no puede haber ordenación en característica positiva.
