Subredes vs subsecuencias

Question

Alguien puede darme un ejemplo de un pacto, no de la primera contables topológica del espacio, de tal manera que hay una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, con la propiedad de que para cada subsequence $(x_{n_p})_{p \in \mathbb{N}}$ de la anterior secuencia, esta larga no convergen ?

La motivación para esta pregunta/la detallada explicación es la siguiente: en la topología supuesto, nos enteramos de que en un espacio compacto, cada red tiene un convergentes de subred. Ahora una secuencia es, por supuesto, también una red, por lo que tiene que tener un convergentes de subred. Pero en general una subred de una secuencia no tiene que ser una secuencia; pero podría aún ser posible en espacio reducido para elegir como subred de una secuencia a otra secuencia ? (Por supuesto que es importante, que este espacio no debe ser el primero contables, porque si lo fuera, no tendríamos que lidiar con la incomodidad de redes; la compacidad+primer contables implicaría que cada secuencia contiene una convergente larga, así que mi pregunta no tendría sentido.)

Answer 1

Tome $X = \{0,1\}^{[0,1]}$, considerado como el conjunto de todas las funciones de la unidad de intervalo de $[0,1]$ a los dos puntos de set $\{0,1\}$. Equipar $X$ con el producto de la topología; $X$ es compacto por el teorema de Tychonoff. En el producto de la topología, una secuencia $f_n$ converge iff converge pointwise, es decir, si el $\{0,1\}$valores de secuencia $f_n(x)$ converge (es decir, es el tiempo constante) para cada $x \in [0,1]$.

Definir $f_n : [0,1] \to \{0,1\}$ a ser la función tal que $f_n(x)$ $n$th bits en binario de la expansión de $x$. (Si $x$ tiene más de un binario de expansión, tome $f_n(x) = 0$ todos los $n$; realmente no importa aquí). Entonces, dado cualquier subsequence $f_{n_m}$, usted debería ser capaz de producir una $x \in [0,1]$ tal que $f_{n_m}(x)$ no converge. Por lo tanto $\{f_n\}$ no tiene convergente larga.

Answer 2

Mi ejemplo favorito es $\beta\omega$, en el que la secuencia de $\langle n:n\in\omega\rangle$ no tiene convergente larga. Para ver esto, vamos a $A$ ser cualquier subconjunto infinito de $\omega$, y supongamos que $\langle n:n\in A\rangle\to p$ algunos $p\in\beta\omega$. Claramente $p\in\beta\omega\setminus\omega$, lo $p$ es un servicio gratuito de ultrafilter en $\omega$. Partición de $A$ en dos infinitos subconjuntos $A_0$$A_1$. Desde $p$ es un ultrafilter, exactamente uno de $A_0$ $A_1$ pertenece a $p$, decir $A_0$. Pero, a continuación, $A_0\cup\{q\in\beta\omega\setminus\omega:A_0\in q\}$ es una nbhd de $p$ que pierde infinitamente términos de $\langle n:n\in A\rangle$, lo $\langle n:n\in A\rangle$ que no converge a $p$, después de todo.