Cuando se habla de límites de funciones de varias variables, ¿por qué no es suficiente decir, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L$$ if $de %f(x,y) $ gets close to $L $ as we approach $ (0,0) $ along the $x $-axis ($y = 0 $) and along the $y $-axis ($x = 0$)?
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fonfonx
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218
Por definición, para mostrar que $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = L$, tienes Mostrar para cada % de secuencia $(x_n, y_n) \to (0,0)$, que usted tiene $f(x_n,y_n) \to L$. Mostrando para casos particulares no es suficiente.
Por ejemplo, fijémonos en $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$. Cada $y \neq 0$ $f(0,y)=0$ y cada $x \neq 0$ $f(x,0)=0$. Desea concluir que $f \to 0$.
Sin embargo cada $ n>0$, $f(1/n,1/n)=1/2$.
Hasek
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37
Considerar el $f(x,y)=\begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2}, ~x^2+y^2\neq0\\0, ~x^2+y^2=0\end{cases}$.
Esta función es continua a lo largo de caminos $x\to0,y=c$ y $x=c,y\to0$, pero no es continua al mismo tiempo ya que a lo largo de la ruta de acceso $x=y$ su valor es $1$, pero en el origen se define como el $f(0,0)=0$.
Stephan Aßmus
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Si te refieres a cada ruta de línea recta, el ejemplo estándar sin un límite es $$ \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} $ $ en puntos distintos del origen. Límite en el origen es $0$ a lo largo del eje de #% de #% % o a lo largo de cualquier línea $y$ a través del origen. $y=mx$ $ donde $ $$ \frac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \left( \frac{m}{m^2 + x^2} \right) \; \; x $de % para que el valor absoluto de la función es no más grande que $$ \left| \frac{m}{m^2 + x^2} \right| \leq \left|\frac{1}{m} \right|$ a lo largo de esa línea.
Sin embargo: Una valor cuando $ \left|\frac{x}{m} \right|$ diferentes cuando $y = x^2,$
gnasher729
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3414
Si volvemos a la definición (por cada eps > 0, existe un delta > 0, etc. etc. ) a continuación, se parece a priori muy posible que para cada ruta que el límite existe y es el mismo, pero por algunas eps > 0 no hay ninguna delta > 0, que funciona para todas las rutas simultáneamente.
Todo depende de cómo se defina "ruta de acceso". Si se consideran solamente los dos caminos "a lo largo del eje x" y "a lo largo del eje", o sólo cualquier línea recta caminos, me gustaría estar seguro de que hay contador de ejemplos.
Por ejemplo, tomar todas las rutas que son líneas rectas hacia (0, 0). Cada uno de los enfoques (0, 0) en un ángulo alfa con 0 < alfa ≤ 360 grados. Calcular f (x, y) calculando el ángulo (0 < ángulo ≤ 360 grados) y la distancia d, y sea f (x, y) = d / ángulo. En cada recta hacia (0, 0) el límite es 0, pero en cualquier vecindad de (0, 0) hay arbitrariamente grandes valores de la función.
Así que para demostrar que el límite existe, usted tendrá que permitir más caminos que sólo líneas rectas. Mi contra-ejemplo no funciona si permitió que los caminos que enfoque (0, 0) en una espiral que va alrededor de (0, 0) infinitamente a menudo a lo largo de dicha ruta, el límite no existe. (Por ejemplo, toma los caminos donde (x, y) = (sen (t + d) / t, cos (t + d) / t) para diferentes valores de d y t va desde el 1 hasta el infinito. De nuevo un ejemplo contrario podría ser producido por la rotación de la original contador de función de ejemplo para "enderezar" todos estos trazados en líneas rectas).
Jonah1289
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185
$\mathbb{R}^2 ,\forall n \in \mathbb{N}$ es un espacio métrico con la métrica $d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+....+(x_n-y_n)^2}$
Cada espacio métrico $(X,d)$ tiene el Hausdorff separación de la propiedad i.e:
$\forall x,y \in X,x \neq y$ podemos encontrar bolas $B(x,\delta_1),B(y,\delta_2)$ tal que $$B(x,\delta_1) \cap B(y,\delta_2)= \emptyset$$
Ahora con este propert puede resultar como un ejercicio que un límite de una función $f:(X,d_1) \rightarrow (Y,d_2)$ o el límite de una secuencia $x_n \in X$ es único.
Por lo tanto para una función en $\mathbb{R}^n$ de su límite,si existe, es independiente del camino que se utiliza para aproximar el valor de la función en un punto dado,porque debe ser único.
Usted puede mantener esta respuesta en mente, si usted ha encontrado la definición y algunas propiedades de los espacios métricos.
Si no, entonces usted puede pasar por alto y sólo probar que una función de $\mathbb{R}^n$(en este caso $\mathbb{R}^2$) $\mathbb{R}$ no puede tener dos límites diferentes en un punto dado.
