18 votos

En el conjunto de las sumas sub de una serie dada

Elija una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ de no negativo de los números reales con la suma finita $x=\sum\limits_{n\in\mathbb N}x_n$ y considerar el conjunto $X=\{x_I\mid I\subseteq \mathbb N\}$ donde, para cada $I\subseteq \mathbb N$, $x_I=\sum\limits_{n\in I}x_n$. Por lo tanto, $X\subseteq[0,x]$.

Pregunta: ¿Puede el set $X$ menos de ser cerrado?

La motivación desde la teoría de la probabilidad es explicado allí. Tenga en cuenta que $X=[0,x]$ si $x_n=1/2^n$ y $X\neq [0,x]$ si $x_n=a^n$ algunos $a$ $(0,1/2)$ (lo que da medida cero conjuntos de Cantor), pero que en todos estos casos $X$ es cerrado.

17voto

larryb82 Puntos 158

Considerar el espacio métrico compacto $(A,d)$ $A$ Dónde está el conjunto de secuencias binarias con $$d(a,b) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ |a_i - b_i|}{2^n}.$$ Define $f:A\to métricas [0,x]$ by $f(a) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n.$ Then $f$ is continuous so $f (A) = X$ es compacto.

16voto

Michael Greinecker Puntos 19016

La gama de una $n$-medida dimensional vector siempre está cerrado. Consulte el documento (y referencias en esto)

P. R. Halmos (1948), la gama de la medida de un vector, Toro. Amer. matemáticas. SOC 54, 416-421.

Por lo que siempre se cerrará el sistema.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X