Deje $V\subset\mathbb{R}$ ser un subespacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ tal que $\mathbb{R}=V\oplus\mathbb{Q}$ (por ejemplo, extender $\{1\}$ a una base de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ y deje $V$ ser el lapso de la base de los elementos excepto $1$). Identificamos $\mathbb{R}$ con el conjunto de pares ordenados $(v,q)$ donde$v\in V$$q\in \mathbb{Q}$. Deje $A$ el conjunto de $(v,q)$ tal que $v>0$ $B$ el conjunto de $(v,q)$ tal que $v<0$. A continuación, $A$ $B$ son una partición de los números irracionales, ya que $(v,q)$ es racional iff $v=0$. Además, $A$ $B$ son claramente cerrado bajo la suma y no vacío.
Más generalmente, si $\preceq$ es cualquier orden total en $V$ compatible con la estructura de grupo, podríamos dejar $A$ el conjunto de $(v,q)$ tal que $v\succ 0$ $B$ el conjunto de $(v,q)$ tal que $v\prec 0$. Por el contrario, cada partición $A\cup B$ de la irrationals en dos conjuntos cerrado bajo la adición surge de un orden total en $V$ de esta manera. En efecto, dada una partición, se recibe un pedido de $\preceq$ $V$ diciendo $V\cap A$ es el conjunto de elementos positivos de $V$. Para cualquier $v\succ 0$$q\in \mathbb{Q}$, $(-v,0)\in B$ y, por tanto, $(v,q)\in A$ desde $(-v,0)+(v,q)=(0,q)\not\in B$. Por lo tanto $A$ contiene todos los $(v,q)$ tal que $v\succ 0$, y de manera similar a $B$ contiene todos los $(v,q)$ tal que $v\prec 0$.
