Ayudar a definir una propiedad topológica

Question

Después de un curso introductorio de Topología General empecé a buscar muchos ejemplos de topologías (principalmente en $\mathbb{R}$), sólo para tener una idea de lo diferente que puede ser y me parece que todos ellos se pueden encajar en una de las siguientes clases:

1. Topologías con "puntos especiales" como el $K$-topología o el colapso $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ donde los barrios de el punto de $0$ son sustancialmente diferentes de las de los otros puntos.

2. Topologías en las que todos los puntos son "iguales" , tales como el estándar de la topología en $\mathbb{R}$ o el cofinite topología.

Hice el intento de formalizar esta propiedad para las topologías de tipo (2):

si $U$ es un barrio de cualquier punto de $x$ y luego cada punto de $y$ tienen una vecindad $V_y$ homeomórficos a $U$.

Mi pregunta es: es esto la intuición justificado?

Answer 1

No es una propiedad topológica llamado "homogeneidad":

Un espacio de $X$ es homogénea iff para cada $x,y \in X$ existe alguna homeomorphism $f: X \to X$ tal que $f(x) = y$.

Esto implica que su versión local, como para cualquier vecindad $U_x$ de $x$, $f[U_x]$ es un (homeomórficos) barrio de $y$. Su versión es la más débil (como todos los colectores son localmente la misma, pero no tiene que ser homogéneo).

Todos los grupos topológicos (como $\mathbb{R}$) son homogéneos, ya que las traducciones son todos homeomorphism (si tenemos una estructura de grupo $1, x\cdot y, x^{-1}$$X$, con todas las operaciones continuas, podemos usar $f(t) = y \cdot x^{-1} \cdot t $, como tal, un mapa, una cartografía $x$$y$..)

También hay espacios homogéneos que no admiten topológica de la estructura de grupo, que es más una idea general.

Answer 2

Voy a ampliar lo que yanko se mencionó anteriormente. Deje $\mathcal{T}$ ser cualquier topología en $\mathbb{R}$ donde $+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, y tiene inversa continua

Fix $x \in \mathbb{R}$, y recoger $y \neq x \in \mathbb{R}$ . Deje $U$ ser un barrio de $x$.

Si $y=x$, $U$ es también un barrio de $x$ y el mapa de identidad es el deseado homeomorphism.

Si $x < y$, luego deje $f : U \to \mathbb{R}$ ser definido por $f(t) = t + |x-y|$, $f$ es claramente continua, y bijective en su imagen $f[U]$, y se ha continua inversa dada por $f^{-1}(t) = t - |x+y|$, por lo tanto $V = f[U]$, ya que el $f$ es un homeomorphism a su imagen y desde $f(x) = x+ |x-y| = y$, podemos ver que $V$ es un barrio de $y$.

Un argumento similar se demuestra la existencia de un barrio de $V$$y$, en el caso de $y < x$.

Así que su propiedad es correcta, y su intuición justificado.