¿Es siempre primer 75986⋯69 o hay un primer acolchado 6 cada primer $p > 5$?

Question

Me encontré con esta pregunta: ¿Cómo podemos convertir cualquier número en un número primo simplemente añadiendo más dígitos? Mientras probando diferentes métodos para encontrar un algoritmo que aumenta las posibilidades de encontrar un primer de esta manera descubrí los seis collar de los números primos:

Empieza con un primer $p>5$, a continuación, agregar un dígito 6 antes de que el último dígito, repita el proceso hasta que el resultado es primo. Esta tabla muestra los resultados para p hasta 100: \begin{align*} 7 && 67 \\ 11 && 16661 \\ 13 && 163 \\ 17 && 167 \\ 19 && 1669 \\ 23 && 263 \\ 29 && 269 \\ 31 && 3666661 \\ 37 && 367 \\ 41 && 461 \\ 43 && 463 \\ 47 && 467 \\ 53 && 563 \\ 59 && 569 \\ 61 && 661 \\ 67 && 666667 \\ 71 && 761 \\ 73 && 76666663 \\ 79 && 769 \\ 83 && 863 \\ 89 && 8669 \\ 97 && 967 \\ \end{align*} Sólo hubo 2 números por debajo de $200000$ para los que no pude encontrar un resultado: $15731$ $75989$ . Mi equipo finalmente encontró una solución para el primer collar con 7460 seis resultando en un 7465 dígitos de los números primos. $75989$ fue comprobado hasta 15000 dígitos.

Pregunta:

Es $75986\cdots69$ siempre el primer o puede ser demostrado que es un collar de seis prime para cada primer > 5

Answer 1

Si inserta un número impar de $6$'s, es simple comprobar que el número resultante es múltiplo de $11$ (sólo el uso de la divisibilidad criterio).

Para un número $n$ $6$'s, aviso que $$ 759866\equiv 3\pmod{13},\quad 1000000\equiv 1\pmod{13},\quad 666666\equiv 0\pmod{13}, $$ y $$ 75986666\equiv 25\pmod{37},\quad 1000000\equiv 1\pmod{37},\quad 666666\equiv 0\pmod{37}. $$ Por lo tanto, cuando $n=2+6k$ el número es un múltiplo de a $13$, y al $n=4+6k$ el número es un múltiplo de a $37$.

Por el momento, puedo decir nada para el caso de $n=6k$.

EDIT.

Jugando con Mathematica me di cuenta de algunas otras regularidades (que no me molesté en probar):

• para $n=6(1+7k)$ el número es un múltiplo de a $43$;
• para $n=6(4+8k)$ el número es un múltiplo de a $17$;
• para $n=6(4+5k)$ el número es un múltiplo de a $31$.

Por otro lado, hay varios casos donde el número sólo tiene dos factores primos, ambos de gran tamaño. En el momento, sin embargo, no pudo encontrar ningún rastro de un número primo.