¿Cómo es diferente de un cilindro un cilindro doble torcido?

Question

Imaginar doblar una hoja de papel cuadrado y el encolado de los dos bordes opuestos juntos. La forma más natural de hacer esto se traduce en un cilindro con extremos abiertos. Llamar a este objeto $C_0$. Si uno de los giros de la hoja media vuelta ($180^{\circ}$) y colas de los bordes, se obtiene una banda de Möbius. Llamar a ese objeto $C_1$. Es fácil imaginar el objeto $C_n$ $n$ giros.

Observe que $C_n$ es homeomórficos a $C_m$ siempre $m-n$ es incluso, desde el encolado de las identificaciones son los mismos. En particular, $C_0$ $C_2$ son homeomórficos. Por lo tanto, topológicamente, $C_0$ $C_2$ son equivalentes. Pero, intuitivamente, me parecen diferentes: uno no puede continuamente deformar $C_0$ a $C_2$ sin que rasga el papel o algo parecido.

Mi (suave) pregunta: ¿cuál es la mejor manera de entender esta diferencia entre el$C_0$$C_2$?

Claro que estoy pensando en $C_0$ $C_2$ como incrustaciones de $S^1\times[0,1]$ a $\mathbb{R}^3$. Creo que uno puede describir la diferencia entre el $C_0$ $C_2$ como diferencia entre su incrustar mapas-no son homotópica de alguna manera. (No estoy seguro exactamente de cómo formular la no equivalencia de las incrustaciones.) Pero incluso necesidad de referirse a las incrustaciones de captar la diferencia entre el$C_0$$C_2$? Intuitivamente, me parece que la diferencia es en gran parte, si no totalmente, independiente del espacio en el que están insertas. Me siento inspirado por la belleza de la forma del colector de la teoría se construye sin necesidad de describir el colector como incrustado en un espacio dimensional superior. Se puede distinguir entre el $C_0$ $C_2$ sin incrustar, o al menos mostrar que la distinción es independiente del espacio en el que están insertas?

Answer 1

Tal vez la relación de equivalencia que quieres es "isótopos", que brevemente significa "homotópica a través de homeomorphisms". Más precisamente, se quiere saber si hay una isotopía de$C_0$$C_2$, que por definición es una función continua $H : C_0 \times [0,1] \to \mathbb{R}^3$ tal que $H(x,0)=x$, $H | C_0 \times \{t\}$ es un homeomorphism en su imagen para cada una de las $t \in [0,1]$, e $H(C_0)=C_2$.

El límite de $C_m$ al $m$ es un 2-componente de enlace que voy a denotar $L_m$. Como resulta que, dada la desigual números enteros $m,n$ los vínculos $L_m,L_n$ no son isotópica, y por lo tanto el trenzado de los cilindros de $C_m,C_n$ no son isotópica. La razón es que para cualquiera de los 2 componentes enlace hay una isotopía invariante llamado la vinculación de número. Uno puede calcular para cada número $m$ que la vinculación de número de $L_m$ es igual a $m/2$ (véase el cuadro de la página web que muestra $C_8$).

Answer 2

Para agregar un poco a lo que @LeeMosher ha dicho: usted está pensando en $C_0$ $C_2$ como las imágenes de dos distintas incrustaciones. Pero el dominio de estas incrustaciones son, por supuesto, homeomórficos.

Sólo quería mencionar que además de la idea de isotopía que Lee presenta (que parece que podría ser lo que usted está después), hay un poco más débiles de la idea de que las obras en la categoría de suave colectores y eso es regular homotopy de inmersiones, en el que se le permite moverse por la imagen en cualquier suficientemente suave manera (que voy a tener que buscar la definición de los detalles), pero este "moverse" se permite la inclusión de material que pasa a través de otras cosas. En el avión, por ejemplo, usted podría tener dos círculos uno al lado del otro, el de la izquierda es más pequeño, O podría tener dos círculos concéntricos. Ambos de estas situaciones representan incrustaciones (o inmersiones) de un par de círculos en el plano. No son isotópicas, pero son regularmente homotópica: simplemente deslice a la izquierda (más pequeño) de círculo a la derecha hasta que se encuentra dentro de la más grande; en cada etapa, de tener una inmersión de un "par de círculos" colector.

La definición contiene algunas sutilezas interesantes, que vale la pena mirar con cuidado, y el gran documento introductorio sobre el tema es este:

Whitney, Hassler (1937). "En las curvas cerradas en el plano". Naturaleza De Mathematica. 4: 276-284.

En el caso de sus dos incrustaciones de la superficie, no sólo homotópica, como @AndrewD.Hwang notas en un comentario, son regularmente homotópica. Pero como se Lee notas, no son isotópicas, debido a la vinculación de los números, etc. [Vea a continuación una pequeña corrección para esta declaración.]

Post-comentario adicional: me equivoqué en mi reclamación anterior, tener una lectura errónea de la definición de $C_2$ --- pensé que era dos plena giros. Llamando a ese elemento $C_4$, lo cierto es que el $C_4$ $C_0$ son regularmente homotópica, sino $C_2$ generalmente no es homotópica a cualquiera de ellos.

Esto está ligado al hecho de que $\pi_1(SO(3)) = \Bbb Z / 2 \Bbb Z$: si usted se imagina, $C_0$ como una amplia, pero no muy alto, cilindro, entonces se puede dibujar una línea central a $\gamma$, pasando alrededor del círculo. El vector tangente $T = \gamma'(t)$ en cada punto de esta línea central puede ser la longitud ajustada a ser un vector unitario, y hacia el exterior, normal $N$ a cada punto le da un segundo, perpendicular, vector unitario. Un tercer vector, $S = N \times T$, en cada punto le da un triple $(T, N, S)$, que se puede considerar como un $3 \times 3$ matriz con la perpendicular por unidad de longitud de las columnas, me.e, un elemento de $SO(3)$. Puesto que usted consigue uno de estos triples en cada punto de $\gamma(t)$, usted termina con un mapa de $t \mapsto M(t) \in SO(3)$,$M(0) = M(1)$, es decir, un elemento de $\pi_1(SO(3))$. Para el estándar del cilindro $C_0$, el trazado resultante es el generador de $\pi_1(SO(3))$.

Para $C_1$, que en realidad no llega a un bucle en $\pi_1(SO(3))$, debido a que el inicio y final de las direcciones de $N$ son opuestas.

Para $C_2$, se obtiene un bucle en $\pi_1(SO(3))$, pero resulta ser la no-generador en $\pi_1(SO(3))$.

Bajo condiciones normales de homotopy, este elemento de la $\pi_1(SO(3))$ es invariante, y por lo tanto $C_0$ $C_2$ no puede ser regularmente homotópica mapas. Pero $C_0$ $C_4$ puede ser, y de hecho son, y estoes la base para algunos de los más inteligentes equipos utilizados para la centrifugación de la sangre durante trombocitaféresis, la cual, cuando yo solía donar plaquetas) se realiza mediante la extracción de sangre de una vena, se ejecuta a través de un largo tubo de plástico con una bolsa de recogida colgando de ella, y luego de nuevo en otra ubicación en la vena. El conjunto de tubo y la bolsa de la asamblea fue de nuevo para cada paciente, pero en el medio de la cosa, que se necesita para hacer girar la sangre para separar las plaquetas en la bolsa de recogida. Esto fue hecho con un muy inteligente asamblea que funciona a causa de la $\pi_1(SO(3))$ truco.