¿Si un lado de $\int f\ d\lambda = \int f\ d\mu - \int f\ d\nu$ existe, el existe así?

Question

Deje $\mu$ $\nu$ dos medidas positivas, al menos, uno de los cuales es finito, en un espacio medible $(X, \mathfrak{A})$. Deje $\lambda$ ser firmado medida en $(X, \mathfrak{A})$ definido por la configuración de $\lambda = \mu - \nu$. Deje $f$ estar extendida valor real $\mathfrak{A}$medible de la función en $X$.

Si $f$ es acotado, se puede demostrar que $$ \int_X f\ d\lambda = \int_X f\ d\mu \int_X f\ d\nu \etiqueta{*} $$ en el sentido de que ambos lados de la ecuación existen en $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ y son iguales.

Por otra parte, si $f$ es ilimitado y ambos lados de $(*)$ existen, se puede demostrar que la igualdad se mantiene.

Supongamos $f$ es ilimitado. Es posible que sólo uno de los lados de $(*)$ a existir, pero no de la otra? Se supone que el $f$ es no negativo.

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El siguiente teorema de Yeh "Análisis Real", 2ª edición, afirma que la existencia de uno implica la del otro. Sin embargo, en mi opinión, la prueba no es prueba de esto; sólo demuestra los dos casos mencionados anteriormente.

Answer 1

Ejemplo más simple: $X=[0,1]$, $\mu=\nu=$ medida de Lebesgue en $[0,1]$, $f(t)=1/t$. Entonces $\lambda=0$ para que el lado izquierdo existe, pero la derecha es $\infty-\infty$.

Answer 2

Consideremos el espacio medible $\left(\left(0,\infty\right),\mathcal{B}\right)$, donde $\mathcal{B}$ es el Borel $\sigma$-álgebra. Deje $\mu$ ser la costumbre medida de Lebesgue en este espacio.

Deje $M_{n}:=\left(n,n+2^{-n}\right)$$n\in\mathbb{N}$. Nota que los conjuntos de $\left(M_{n}\right)_{n}$ son disjuntos a pares con $\sum_{n}\mu\left(M_{n}\right)<\infty$. Por lo tanto, la medida de $\nu$ definido por $$ d\nu:=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{M_{n}}\,{\rm d}\mu $$ es finito ($\nu$ tiene una densidad de $\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{M_{n}}$ con respecto a $\mu$ donde $\chi_{M_{n}}$ es el indicador de la función de $M_{n}$).

Tenga en cuenta que la "diferencia " medir" $\lambda = \mu - \nu$ está dado por $$ d\lambda=\left(1-\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{M_{n}}\right)\, d\mu. $$ En particular, cualquier función de $h$ apoyado en el set $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_{n}$ se han $\int h\, d\lambda=0$ (y la integral converge absolutamente).

Todo lo que queda es elegir a $h$ de tal manera que $\int h\,{\rm d}\mu=\infty$ y $\int h\,{\rm d}\nu=\infty$. La segunda identidad es automático si $\int h\,{\rm d}\mu=\infty$ (¿por qué? el uso que $h$ es compatible en $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_{n}$).

Ahora una opción válida será $$ h=\sum_{n\in\mathbb{N}}2^{n}\chi_{M_{n}}, $$ ya tenemos $$ \int h\,{\rm d}\mu=\sum_{n\in\mathbb{N}}2^{n}\mu\left(M_{n}\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}1=\infty. $$ BTW: Buena captura en señalar el carácter incompleto de la prueba!