¿Evaluar la integral $ \int_0^{\infty} \cos(x^2)\, \mathrm{d} x$?

Question

¿Es necesario hacer uso de la integral gaussiana y la forma exponencial compleja del coseno en la evaluación de la siguiente integral?

$$\int_0^{\infty} \cos(x^2)\, \mathrm{d} x$$

Sólo por curiosidad - puedo probar su convergencia, pero no evaluarla en el momento.

Answer 1

Es necesario utilizar la función Gamma en forma integral y luego realizar los cambios apropiados... probablemente no, pero es uno de los métodos más cortos para elegir.

Considere el integral\begin{align} I_{n} = \int_{0}^{\infty} \cos(x^{2n}) \, dx \end {Alinee el} y hacer el cambio de variables $t = x^{2n}$ que conduce a\begin{align} I_{n} = \frac{1}{2n} \, \int_{0}^{\infty} \cos(t) \, t^{\frac{1}{2n} - 1} \, dt. \end align {} ahora usando el integral\begin{align} \int_{0}^{\infty} \cos(at) \, t^{p-1} \, dt = \frac{\Gamma(p)}{a^{p}} \, \cos\left( \frac{p \pi}{2} \right) \end {Alinee el} entonces $I_{n}$ se convierte\begin{align} I_{n} = \cos\left( \frac{\pi}{4n} \right) \, \Gamma\left( \frac{1}{2n} + 1 \right). \end {Alinee el}

Para el caso de $n=1$ el resultado es\begin{align} \int_{0}^{\infty} \cos(t^{2}) \, dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}. \end {Alinee el}