Que $k$ ser un campo. Dado un grupo algebraico afín $G$ (definida como un functor de categoría de $k$-álgebra a la categoría de conjuntos), entonces tenemos el anillo de coordenadas (o el $k$-álgebra que representan el $G$) $k[G]$.
¿Hay una forma estándar para poner una estructura de álgebra de co en $k[G]$? ¿Cómo puede uno definir explícitamente el % de mapas $\Delta: k[G] \to k[G]\otimes k[G]$y $\epsilon: k[G] \to k$?
Este es tal vez un poco indirecto, pero se puede pensar el functor de puntos de su grupo algebraico afín como factoraje a través de la categoría de grupos. Lema de Yoneda para conseguirse todos los mapas habituales de multiplicación, inversa y la identidad en el grupo se aplica, entonces los mapas en el álgebra de Hopf asociado se obtienen tirando hacia atrás.
Usted puede hacer esto mediante la identificación de $k[G]$ con el conjunto de morfismos de$G$$\mathbb{A}^1$. Del mismo modo, identificar las $k[G]\otimes k[G]$ con morfismos de$G\times G$$\mathbb{A}^1$.
Ahora, podemos usar la estructura de grupo en la $G$ a definir el comultiplication de la siguiente manera: Vamos a $f\in k[G]$ y definen $\Delta(f)$ a ser el mapa que lleva a $(x,y)$$f(xy)$.
Del mismo modo, usted puede hacer esto para obtener el counit con ese $G$ tiene un elemento de identidad.
Tenga en cuenta que en el anterior, estoy abusando de la notación big time. ¿Dime si quieres más detalles con menos abuso de notación.
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