Pregunta: ¿por qué es el espacio topológico $\mathbb{R}^\infty$ definida como el subconjunto de $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}_i$ consisten en secuencias $(a_i)_{i=1} ^{\infty}$ tal a lo más finito muchos $a_i\neq 0$? ¿Por qué uno insiste en la condición que $a_i\neq0$ % a lo más finito muchos $i$?
Respuestas
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Esta condición hace $\mathbb{R}^\infty$ un CW-complejo. Básicamente esto significa que es un espacio topológico "bueno".
También hace $\mathbb{R}^\infty$ los coproductos en la categoría de espacios topológicos (es decir, suma directa) en comparación con el producto (producto cartesiano) $\prod_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}^n$. Comparar con la diferencia entre los coproductos (suma directa) de infinitamente muchos grupos abelianos, por ejemplo y el producto (producto directo).
Tsvetomir Tsonev
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Otra razón más elemental es el siguiente teorema:
Que $f: A \rightarrow \prod_{\alpha \in J} X_{\alpha}$ dar coordinate-wise, es decir, $f(a) = (f_{\alpha}(a))_{\alpha \in J}$ $f_{\alpha}:A \rightarrow X_{\alpha}$ con la topología del producto (es decir, la condición de soporte finito que se describe) tenemos que $f$ es continuo si y solamente si es $f_{\alpha}$.
Esto no funciona si no insistimos en la condición de soporte finito y el más simple contraejemplo $f: \mathbb{R} \rightarrow \prod_i \mathbb{R}_i$ de $f(t) = (t, t, ..., )$ obras
