Si un lineal funcional no se limita, entonces tiene un kernel no cerrado.

Question

En esta respuesta, el OP dio una prueba a la proposición de que si un funcional lineal $f$ es no acotada, entonces es un no-cerrada del núcleo. Sin embargo, él sólo puso de manifiesto que si $f$ es no acotado, entonces no acotada secuencia existe en el núcleo, lo que no demuestra necesariamente que el kernel no es cerrado, ya que conjuntos cerrados, obviamente, puede tener secuencias sin límite. Estoy equivocado? Si la prueba fue mal, entonces ¿cuál es la correcta la prueba de esta proposición?

Answer 1

Suponiendo que estamos trabajando con la normativa de espacios de aquí, elija un vector fijo $v$$f(v)=1$. Si $f$ no está delimitado, hay una secuencia $(x_n)$$x_n\to0$$f(x_n)=1$. Por lo tanto $v-x_n\in\operatorname{ker} f$. Pero $v-x_n\to v\notin\operatorname{ker}f$, lo $\operatorname{ker}f$ no está cerrado.

Adenda: La respuesta ya está aceptado, pero para referencia en el futuro, aquí es cómo generalizar el de arriba para un espacio vectorial topológico. Eso requiere un poco de lema, que no es difícil demostrar (os dejo la prueba para el lector): Si $f$ es una desenfrenada lineal funcional, entonces todos los barrios de el origen contiene algunos $x$$f(x)=1$. En este supuesto, como en el caso anterior inicio con un vector fijo $v$$f(v)=1$. Si $U$ es un barrio de $v$, $v-U$ es un barrio de $0$, por lo que contiene algunos de los $x$$f(x)=1$. Por lo tanto $v-x\in U\cap\operatorname{ker}f$, y hemos terminado.

Answer 2

Para un lineal mapa entre la normativa de los espacios, de acotamiento es equivalente a la continuidad en $0$, que es equivalente a la continuidad en todas partes.

Si $f\colon V\to\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) es lineal en el mapa y $f$ es continua (es decir, encuadernadas), a continuación, $\ker f$ es la inversa de la imagen de $\{0\}$, entonces es cerrado.

Si $\ker f$ está cerrada, $f$ induce un mapa de $V/\ker f$ (que es una normativa espacio) a $\mathbb{R}$. Si $f$ es no constante (de lo contrario el resultado es trivial), entonces la inducida por el mapa es un isomorfismo y es continua porque tal es cualquier lineal mapa entre finito dimensional de la normativa de los espacios. Por lo tanto, $f$ es la composición de un continuo lineal mapa con la proyección de $V\to V/\ker f$, que es continuo, por definición.

Answer 3

Una prueba correcta está dada por Beni Bogosel en su blog.